"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Обыкновенные и десятичные дроби могут встречаться в одном выражении. Чтобы вычислить его без ошибок, нужно выбрать удобную форму записи чисел, правильно выполнить действия с дробями и соблюдать общий порядок действий. Иногда проще заменить обыкновенную дробь десятичной, а иногда — записать десятичную обыкновенной. Умение выбирать способ помогает быстрее считать и проверять результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Обыкновенная дробь — это запись вида a/b, где b не равно нулю. Она показывает часть целого или действие деления числителя a на знаменатель b. Например, 3/4 означает три из четырёх равных частей. Понимание этой записи помогает сравнивать части и выполнять действия с дробями.
Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, записанная с помощью запятой. Например, 7/10 записывают как 0,7, а 25/100 — как 0,25. Цифры после запятой показывают десятые, сотые, тысячные доли. Такая запись удобна, когда нужно складывать или сравнивать дроби с одинаковыми разрядами.
Смешанное число состоит из целой части и обыкновенной дроби: например, 2 1/3. Оно обозначает число 2 + 1/3, то есть две целые и ещё одну треть. Чтобы представить его неправильной дробью, целую часть умножают на знаменатель и прибавляют числитель: 2 1/3 = (2 · 3 + 1)/3 = 7/3. Это удобно, например, при умножении и делении смешанных чисел.
Совместные действия с дробями — это вычисления, в одном выражении которого встречаются обыкновенные и десятичные дроби. Их выполняют по общему порядку действий, а для каждого шага выбирают подходящую форму записи. Например, слагаемые можно привести к десятичным дробям или к обыкновенным с общим знаменателем. Так разные записи чисел не мешают вычислить выражение.
Перед вычислениями полезно посмотреть на числа и решить, в каком виде их проще использовать. Например, 1/4 легко заменить на 0,25, поэтому с десятичным слагаемым её удобно складывать. Но дробь 1/3 не выражается конечной десятичной дробью: при переводе получится бесконечная запись 0,333… . В таком случае часто проще оставить дроби обыкновенными, чтобы не округлять ответ.
При сложении и вычитании числа должны быть записаны в одной форме. Десятичные дроби удобно выравнивать по запятой: так десятые складываются с десятыми, сотые — с сотыми. Если выбраны обыкновенные дроби, их приводят к общему знаменателю, потому что складывать и вычитать можно только одинаковые по размеру доли. После этого выполняют действие с числителями, а знаменатель оставляют прежним.
При умножении дробей можно выбрать удобную запись чисел, выполнить умножение и при необходимости сократить результат. При делении обыкновенных дробей деление заменяют умножением на обратную дробь: например, деление на 2/3 превращается в умножение на 3/2. Десятичное деление иногда проще выполнить, превратив делитель в целое число и передвинув запятую в обоих числах на одинаковое количество разрядов. Такая замена не меняет частное, потому что делимое и делитель умножают на одно и то же число.
Если действий несколько, сначала учитывают скобки, а затем приоритет действий: умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Действия одного приоритета выполняют слева направо. Например, в выражении (1 + 2) · 3 сначала находят сумму в скобках, а в 1 + 2 · 3 сначала умножают. Наличие десятичных и обыкновенных дробей не изменяет этот порядок.
После вычислений полезно оценить, каким примерно должен быть ответ. Например, 0,7 + 3/10 — это примерно 0,7 + 0,3, значит, результат должен быть около единицы. Проверить точное значение можно обратным действием или повторным вычислением в другой форме. Если ответ сильно отличается от прикидки, стоит проверить запись запятых, знаменатели и порядок действий.
В таблице собраны подсказки для разных действий. Перед вычислением выбери один способ представления чисел и придерживайся его на этом шаге. Если выбранный способ приводит к неудобным числам, можно перейти к другой форме, не меняя значения выражения.
| Действие | Что сделать с обыкновенной дробью | Что сделать с десятичной дробью | На что обратить внимание |
|---|---|---|---|
| Сложение и вычитание | Привести дроби к общему знаменателю или перевести в десятичную форму, если перевод удобен. | Выровнять числа по запятой; при необходимости записать недостающие нули. | Складывать доли одного разряда или дроби с одинаковыми знаменателями. |
| Умножение | Перемножить числители и знаменатели; смешанное число сначала превратить в неправильную дробь. | Умножить как целые числа, затем правильно поставить запятую. | Сократить дробь, если это возможно, и проверить примерной оценкой. |
| Деление | Умножить на обратную дробь; смешанное число предварительно записать неправильной дробью. | При необходимости сделать делитель целым, передвинув запятую в обоих числах одинаково. | Не делить на ноль; помнить, что обратная дробь существует только для ненулевого числа. |
| Выражение с несколькими действиями | Выбрать удобную запись для каждого шага, не меняя порядок действий. | При необходимости привести к той же форме, что и соседние числа. | Сначала скобки, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание. |
Задача 1. Вычислить 0,7 + 3/10. Числа записаны по-разному, но 0,7 — это семь десятых, то есть 7/10. Поэтому можно сложить дроби с одинаковым знаменателем, не выполняя сложение десятичных столбиком.
Ответ: 1. В этом примере можно было сразу записать 3/10 как 0,3 и вычислить 0,7 + 0,3. Оба способа дают одинаковый результат, потому что дроби обозначают те же числа.
Задача 2. Вычислить 2,4 − 5/8. Здесь удобно перевести десятичную дробь в обыкновенную: 2,4 = 24/10 = 12/5. Знаменатели 5 и 8 имеют общий знаменатель 40, поэтому вычитание можно выполнить точно, без округления.
Ответ: 1 31/40. Можно проверить результат десятичной прикидкой: 5/8 = 0,625, а 2,4 − 0,625 = 1,775. Это равно 1 31/40, поскольку 31/40 = 0,775.
Задача 3. Вычислить (1 1/2 + 0,75) : 0,5 − 2/3. В выражении есть скобки, деление, вычитание и дроби разных видов. Удобно перевести числа в обыкновенные дроби, чтобы избежать округления, а порядок действий соблюдать независимо от записи.
Ответ: 3 5/6. Скобки определили первое действие, затем выполнялось деление, и только после этого — вычитание. Если начать вычитать 2/3 до деления, получится уже другое выражение.
Нельзя складывать или вычитать числители и знаменатели отдельно: например, 1/2 + 1/3 не равно 2/5. Так ошибаются, перенося на дроби правила действий с целыми числами. Сначала приведи дроби к общему знаменателю: здесь получится 3/6 + 2/6 = 5/6, а затем проверь, что каждая дробь обозначает прежнее число.
При сложении десятичных дробей запятые ставят одну под другой, а не выравнивают последние цифры. Иначе десятые можно случайно сложить с сотыми. Добавь справа нули, если это удобно, и проверь разряды: 1,2 + 0,35 записывают как 1,20 + 0,35, а не как 1,2 + 0,35 с цифрами, сдвинутыми влево.
При делении на обыкновенную дробь умножают на обратную, а не на ту же дробь. Ошибка возникает, когда правило «заменить деление умножением» запоминают не полностью. Например, 4 : 2/3 = 4 · 3/2; проверить можно умножением результата на 2/3 — должно получиться 4.
Не выполняй все действия просто слева направо, если у них разный приоритет. Так легко начать сложение раньше умножения или пропустить скобки. Подчеркни сначала действия в скобках, потом умножение и деление, а затем сложение и вычитание; после вычисления оцени, разумен ли ответ.
Перед этой темой нужно уметь сравнивать обыкновенные дроби, сокращать их, приводить к общему знаменателю и отдельно выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями. Эти навыки позволяют перейти от одного вида записи к другому без изменения числа. Выбор формы дроби пригодится при решении уравнений, задач на величины и вычислении значений выражений. Позже те же приёмы помогут выполнять действия с рациональными числами и разбирать более сложные числовые выражения.
Всегда ли нужно переводить обыкновенные дроби в десятичные?
Нет, переводить дроби не обязательно. Если у обыкновенной дроби знаменатель 2, 4, 5, 8, 10 или другой удобный для перевода знаменатель, десятичная запись может упростить вычисления. В остальных случаях удобнее оставить дроби обыкновенными.
Как понять, в какую форму удобнее перевести дробь?
Посмотри, какие числа стоят рядом и какое действие нужно выполнить. Если получается конечная десятичная дробь или удобно выровнять запятые, используй десятичную запись. Если перевод даёт длинную запись или периодическую дробь, обычно проще работать с обыкновенными дробями.
Можно ли складывать десятичную и обыкновенную дробь без перевода?
Для сложения нужно сначала представить числа в одной форме. Например, можно превратить 0,7 в 7/10 и сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Записывать десятичную и обыкновенную дробь рядом и складывать их отдельно нельзя.
Почему при делении на дробь нужно умножать на обратную?
Обратная дробь получается, если поменять местами числитель и знаменатель, например обратная для 2/3 — это 3/2. Деление на число означает умножение на число, которое при умножении даёт единицу. Поэтому деление на 2/3 заменяют умножением на 3/2.
В каком порядке выполнять действия, если в выражении есть скобки и дроби разных видов?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после них сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо. Вид дроби не меняет этот порядок: перед отдельным действием можно выбрать удобную форму записи чисел.
1. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями
