§ 1. Числа и действия с ними

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которые используют при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Ими удобно обозначать количество предметов или порядок объектов. Число 0 показывает отсутствие предметов, но его включение в натуральные числа зависит от принятого определения.

Дробные числа выражают одну или несколько частей единицы. Обыкновенную дробь записывают как m/n, где m показывает число частей, а n — на сколько равных частей разделили целое; например, 3/10. Десятичная дробь — другая запись долей, например 0,3, и она помогает удобно сравнивать и вычислять.

Отрицательные числа — числа, которые меньше нуля: −1, −2, −0,5. Знак «−» показывает, что число расположено по другую сторону от нуля, чем положительное. Такие числа нужны, например, чтобы записывать температуру ниже нуля или долг.

Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число. К ним относятся целые числа, обыкновенные дроби и конечные десятичные дроби. Это понятие объединяет числа, с которыми можно выполнять знакомые действия и сравнивать их.

Как это устроено

Натуральные числа позволяют пересчитать предметы, но при измерении часто получается не целое число единиц. Если один метр разделить на десять равных частей, длина одной части будет 1/10 метра. Поэтому к натуральным числам добавляют дробные: они дают возможность точно записывать доли, а не округлять их до целого.

Обыкновенные и десятичные дроби связаны тем, что могут обозначать одно и то же число. Например, 3/10 — это три десятых, то есть 0,3; запись с запятой получается, когда знаменатель равен 10, 100, 1000 и так далее. Разные формы записи удобны в разных случаях: дробь хорошо показывает части целого, а десятичная запись часто облегчает сравнение и вычисления.

Чтобы расположить числа на координатной прямой, отмечают ноль и выбирают единичный отрезок. Положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева, а числа увеличиваются слева направо. Поэтому сравнение можно выполнить по расположению: точка правее соответствует большему числу, а точка левее — меньшему.

Правила действий с новыми числами опираются на знакомые правила для натуральных чисел. При сложении и умножении дробей важно учитывать, на сколько частей разделена единица; при вычислениях с отрицательными числами учитывают их знаки. Чтобы не ошибиться, сначала определяют вид чисел, выбирают удобную запись и проверяют, разумен ли результат.

В выражениях с несколькими действиями порядок нужен, чтобы разные люди получили один и тот же результат. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковый приоритет, их выполняют слева направо, а скобки могут изменить обычный порядок.

Числа и действия с ними

Сначала определите, к какому виду относится число, затем найдите его положение относительно нуля. Таблица напоминает, что дробная запись может быть и отрицательной, а рациональные числа объединяют несколько видов записей. При делении всегда проверяйте, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Запишите число, соответствующее пяти целым и трём десятым, в виде десятичной и обыкновенной дроби. Слово «десятым» подсказывает, что дробная часть состоит из трёх долей, каждая из которых равна одной десятой. Целая часть числа равна пяти.

1. Записываем пять целых и три десятых десятичной дробью: 5,3.
2. Три десятых записываем обыкновенной дробью 3/10.
3. Объединяем целую и дробную части: 5 3/10. При необходимости это же число можно записать неправильной дробью: 53/10.

Ответ: 5,3 и 5 3/10, или 53/10. Проверка: в числе 5,3 после запятой стоит цифра десятых, поэтому дробная часть действительно равна 3/10.

Задача 2. Расположите числа −3, 0, 1/2 и 2 на координатной прямой и запишите их в порядке возрастания. Сначала отметим ноль: −3 находится слева от него, а 1/2 и 2 — справа. Среди положительных чисел половина меньше двух, поскольку точка 1/2 лежит ближе к нулю.

1. Отмечаем на прямой −3 слева от нуля.
2. Справа от нуля отмечаем 1/2, а ещё правее — 2.
3. Читаем точки слева направо, так как числа на прямой возрастают в этом направлении.

Ответ: −3 < 0 < 1/2 < 2. Такое расположение заодно показывает, что любое отрицательное число меньше нуля и любого положительного числа.

Задача 3. Вычислите 18 − 2 · (3 + 1/2) и объясните порядок действий. Здесь есть скобки и умножение, поэтому нельзя просто считать все действия слева направо. Сначала найдём значение в скобках, затем выполним умножение и последним — вычитание.

1. В скобках складываем 3 и 1/2: 3 + 1/2 = 3 1/2 = 3,5.
2. Умножаем результат на 2: 2 · 3,5 = 7.
3. Вычитаем полученное число из 18: 18 − 7 = 11.

Ответ: 11. Проверка порядка: скобки выполнены первыми, умножение — до вычитания, поэтому результат соответствует правилам действий.

Типичные ошибки

Не всегда правильно считать ноль натуральным числом или исключать его из них: определения в учебниках могут отличаться. Ошибку допускают, когда запоминают один вариант как единственно возможный. Проверьте, какое определение дано в условии или принято в вашем курсе.

Сравнивать дроби только по числителям или только по знаменателям нельзя: размер долей зависит от обоих чисел. Например, большой знаменатель означает, что единицу разделили на большее число частей, но для сравнения этого наблюдения недостаточно. Приведите дроби к общему знаменателю или представьте их в удобном виде и сравните значения.

Можно ошибочно решить, что отрицательное число с большим модулем больше. Модуль показывает расстояние от числа до нуля, но отрицательное число с большим расстоянием лежит левее. Проверьте себя на прямой: −8 левее −3, значит −8 < −3.

Если выполнять все действия строго слева направо, можно не заметить скобки и приоритет умножения и деления. Такая ошибка возникает, когда порядок вычислений принимают за обычное чтение записи. Перед решением отметьте скобки, затем действия умножения и деления, после них сложение и вычитание.

Связь с другими темами

Для работы с числами пригодятся таблица умножения, деление и свойства арифметических действий. Вспомните также, как записывают обыкновенные и десятичные дроби: это поможет переходить от одной формы числа к другой и выбирать удобный способ вычисления.

Представление о рациональных числах расширяет знакомый набор чисел, а координатная прямая помогает сравнивать их и отмечать значения. Эти знания понадобятся при изучении уравнений, где нужно находить неизвестные числа, и при решении задач на числовые промежутки.

Числа и действия встречаются не только в математике. С их помощью решают текстовые задачи, описывают температуру, расстояния, изменения величин и другие ситуации из естественных наук. Умение выбрать подходящую запись и проверить вычисления помогает понять смысл ответа.

Что запомнить

• Числа могут иметь разные записи, обозначающие одно и то же значение.
• Ноль отделяет положительные числа от отрицательных.
• На координатной прямой числа возрастают слева направо.
• Отрицательное число с большим модулем меньше отрицательного числа с меньшим модулем.
• Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.
• Рациональное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем.