§ 1. Числа и действия с ними

Определения и обозначения

Число — математический объект, который используют для счёта, измерения и сравнения. Например, число 5 может обозначать пять предметов, а число 5 см — длину отрезка. Числа помогают записывать условие задачи коротко и выполнять вычисления по общим правилам.

Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Вместе с ними часто рассматривают число 0, которое показывает отсутствие предметов; его не всегда относят к натуральным числам. Различие важно, чтобы точно понимать, какие значения могут входить в рассматриваемое множество чисел.

Арифметические действия — сложение, вычитание, умножение и деление. Записи a + b, a − b, a · b и a : b обозначают действия над числами a и b, а знак равенства связывает выражение с его значением. Эти обозначения позволяют записывать вычисления и рассуждать о них, не повторяя условие задачи словами.

Выражение — запись из чисел, знаков действий и, возможно, скобок. Например, 8 + 3 · 2 — выражение, а его значение равно 14, потому что умножение выполняют раньше сложения. Скобки помогают изменить порядок действий, поэтому запись (8 + 3) · 2 имеет другое значение.

Как это устроено

Каждое арифметическое действие отвечает на свой вопрос. Сложение объединяет две группы предметов или величин: если к 4 кубикам добавить 3, получится 7. Вычитание помогает узнать, сколько осталось, или насколько одно число больше другого. Поэтому для выбора действия полезно сначала понять ситуацию, а уже потом составлять выражение.

Умножение удобно, когда одинаковое число повторяется несколько раз: 4 · 3 означает четыре группы по три предмета и равно 3 + 3 + 3 + 3. Деление решает обратную задачу: например, 12 : 3 показывает, сколько предметов окажется в каждой из трёх равных групп. Деление также помогает узнать, сколько раз одно число содержится в другом; на ноль делить нельзя, потому что не существует числа, которое при умножении на ноль даст делимое, отличное от нуля.

Некоторые действия можно выполнять в разном порядке, не меняя результата. Например, 8 + 5 = 5 + 8: от перестановки слагаемых сумма не меняется. То же верно для множителей: 4 · 7 = 7 · 4. Это свойство помогает выбирать более удобный порядок вычислений, но для вычитания и деления оно не работает: 8 − 5 не равно 5 − 8, а 12 : 3 не равно 3 : 12.

В выражениях со скобками сначала выполняют действия внутри скобок: так скобки показывают, что нужно объединить прежде всего. Если скобок нет, сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Действия одного порядка выполняют слева направо: например, в 18 : 3 · 2 сначала делят 18 на 3, затем умножают результат на 2. Соблюдение порядка нужно, чтобы разные люди получили одно и то же значение выражения.

Вычисления можно проверять обратными действиями. Сложение и вычитание взаимно проверяют друг друга: если 9 + 6 = 15, то 15 − 6 должно дать 9. Умножение проверяют делением: для произведения 7 · 4 = 28 верно, что 28 : 4 = 7. Проверка особенно полезна после вычислений в несколько шагов, когда ошибка в одном действии меняет весь результат.

Свойства действий и порядок вычислений

В таблице буквами a, b и c обозначены числа, поэтому равенства описывают общий случай, а не только один пример. Переместительное и сочетательное свойства помогают сгруппировать числа удобным способом при сложении и умножении. Пользуясь правилом порядка действий, не переставляй действия произвольно: сначала проверь скобки, затем выполняй действия одинакового приоритета слева направо.

Разбор задач

Задача 1. В коробке было 24 карандаша. Их разложили поровну в 4 пенала, а затем в каждый пенал добавили ещё 2 карандаша. Сколько карандашей стало в одном пенале? Сначала нужно определить, какую часть условия описывает деление: исходные карандаши распределили поровну. Прибавлять дополнительные карандаши следует уже к количеству в одном пенале.

1. Найдём, сколько исходных карандашей оказалось в одном пенале: 24 : 4 = 6. Деление подходит, потому что карандаши распределили поровну между четырьмя пеналами.
2. Прибавим по 2 карандаша к содержимому одного пенала: 6 + 2 = 8. Это последнее действие, потому что дополнительные карандаши добавили после распределения.
3. Проверим смысл ответа: четыре пенала получили по 6 карандашей, а добавка увеличила содержимое каждого на 2. Значит, в одном пенале действительно 8 карандашей.

Ответ: 8 карандашей.

Задача 2. Вычисли значение выражения 36 − 4 · (5 + 2). Здесь важно не начинать вычисления слева направо: скобки и умножение имеют приоритет перед вычитанием. Сначала найдём значение в скобках, затем умножим результат и только после этого выполним вычитание.

1. Выполним действие в скобках: 5 + 2 = 7. Теперь выражение принимает вид 36 − 4 · 7.
2. Выполним умножение: 4 · 7 = 28. Получаем 36 − 28.
3. Вычтем: 36 − 28 = 8. Прикидка подтверждает, что результат разумный: из 36 вычли число, немного меньшее 36, поэтому ответ должен быть небольшим положительным числом.

Ответ: 8.

Типичные ошибки

Ошибка: выполнять действия только слева направо. Так поступают, когда забывают, что умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания. Например, выражение 7 + 2 · 4 нельзя считать как (7 + 2) · 4: сначала получают 8, затем 7 + 8 = 15. Чтобы проверить себя, отметь скобки и действия более высокого приоритета до начала вычислений.

Ошибка: менять местами числа при вычитании или делении. Перестановка удобна при сложении и умножении, и это правило по привычке переносят на другие действия. Но 10 − 4 = 6, а 4 − 10 не равно 6; порядок делимого и делителя тоже важен. Проверяй, соответствует ли перестановка свойству именно этого действия.

Ошибка: не проверять результат по смыслу. Причиной может быть спешка или невнимательно переписанное условие, а не только неверное вычисление. Например, если поровну разделили 20 предметов на 5 групп, ответ больше 20 быть не может. Прикинь результат и проверь действие обратным: умножь частное на делитель или сложи разность с вычитаемым.

Связь с другими темами

Умение выполнять действия с числами нужно при изучении обыкновенных и десятичных дробей: действия остаются знакомыми, но появляются новые правила записи и вычислений. Порядок действий используется при нахождении значений выражений, в которых есть скобки и несколько арифметических знаков. Свойства сложения и умножения помогают упрощать такие записи.

Обратные действия лежат в основе решения простых уравнений: чтобы найти неизвестное слагаемое, используют вычитание, а чтобы найти неизвестный множитель — деление. Проверка подстановкой показывает, верно ли найдено неизвестное число. Эти приёмы связывают вычисления с задачами, где нужно восстановить недостающую величину.

Что запомнить

• Сначала определи, какой вопрос задачи соответствует действию.
• Скобки выполняй прежде остальных действий.
• Без скобок сначала выполняй умножение и деление, затем сложение и вычитание; действия одного порядка считай слева направо.
• Переставлять слагаемые и множители можно, а вычитаемое с уменьшаемым и делимое с делителем менять местами нельзя.
• Проверяй ответ обратным действием и оценивай, подходит ли он по смыслу.