4. Отрицание утверждений с кванторами

Определения и обозначения

Квантор всеобщности ∀ означает «для любого» или «для каждого». Он показывает, что утверждение относится ко всем объектам заданного множества. Например, слова «для каждого числа» требуют проверить свойство у каждого числа из выбранной области. Это обозначение помогает коротко записывать общие утверждения.

Квантор существования ∃ означает «существует» или «найдётся». Утверждение с ним верно, если хотя бы один объект из заданного множества обладает указанным свойством. Не нужно, чтобы свойством обладали все объекты. Этот квантор позволяет сообщить, что подходящий пример точно есть.

Отрицание утверждения — такое утверждение, которое истинно тогда и только тогда, когда исходное ложно. Если исходное утверждение верно, его отрицание неверно, и наоборот. Например, отрицание фразы «число 8 чётное» — «число 8 не чётное». Понимание отрицания нужно, чтобы точно опровергать или проверять высказывания.

Область рассмотрения кванторного утверждения — множество объектов, о которых идёт речь, когда говорят «для любого» или «существует». Это могут быть, например, натуральные числа или числа в списке. Одно и то же свойство может быть верным для одной области и неверным для другой. Поэтому область помогает понять, какие именно объекты нужно проверять.

Как это устроено

Если сказано «все объекты обладают свойством», утверждение будет ложным даже при одном исключении. Поэтому, чтобы выразить его отрицание, достаточно сказать, что найдётся хотя бы один объект без этого свойства. Например, фраза «все числа в списке положительные» опровергается одним нулём или отрицательным числом в списке. Именно поэтому квантор «для всех» при отрицании становится квантором «существует».

Утверждение «существует объект с данным свойством» истинно, если найден хотя бы один подходящий объект. Чтобы такое утверждение стало ложным, подходящих объектов не должно быть вовсе. Это означает, что каждый объект рассматриваемой области не обладает указанным свойством. Поэтому отрицание квантора существования — квантор всеобщности со словами «не обладает».

При отрицании меняются и квантор, и свойство: ∀ заменяется на ∃, а ∃ — на ∀. Причина в том, что нужно описать ровно те случаи, в которых исходное утверждение неверно. Если поменять только квантор, получится другое утверждение, но не обязательно его отрицание. Например, отрицание «все числа чётные» — «существует нечётное число», а не просто «существует чётное число».

Рассмотрим два коротких примера. Отрицание фразы «все числа чётные» — «существует нечётное число», потому что достаточно одного числа без свойства чётности. Отрицание фразы «существует число больше 10» — «все числа не больше 10»: если подходящего числа нет, каждое число должно быть не больше 10. В обоих случаях вместе с квантором меняется и утверждаемое о числе свойство.

Область рассмотрения при отрицании остаётся прежней, потому что мы проверяем, когда неверно именно исходное высказывание. Если сказано «все натуральные числа обладают свойством», то отрицание должно говорить о натуральных числах, а не обо всех числах. Иначе мы изменим вопрос и можем получить утверждение с другим ответом. Перед отрицанием полезно явно назвать область: например, «рассматриваем только числа из списка».

Как отрицать утверждения с кванторами

Таблица показывает, как одновременно заменить квантор и отрицать свойство. Обозначение «не P(A)» означает, что объект A не обладает свойством P. Сначала определите область объектов и найдите квантор, затем сформулируйте отрицание по соответствующей строке.

Разбор задач

Задача 1. Сформулируйте отрицание утверждения: «Все числа в списке положительные». Нужно выяснить, какой случай сделает исходное утверждение ложным. Одного неподходящего числа достаточно, ведь слово «все» требует положительности каждого числа.

1. Определяем квантор: слово «все» означает «для каждого».
2. Меняем его на «существует хотя бы одно».
3. Отрицаем свойство «положительное»: число должно быть не положительным, то есть нулём или отрицательным.

Ответ: «В списке найдётся хотя бы одно число, которое не является положительным».

Задача 2. Сформулируйте отрицание утверждения: «Существует натуральное число, которое делится на 7 и меньше 10». Исходное утверждение ищет натуральное число, одновременно удовлетворяющее двум условиям. При отрицании надо сказать, что такого числа нет, а не просто поменять один из признаков.

1. Заменяем «существует» на «для каждого натурального числа».
2. Отрицаем условие целиком: число не делится на 7 или оно не меньше 10.
3. Проверяем смысл: ни одно натуральное число не должно одновременно делиться на 7 и быть меньше 10.

Ответ: «Для каждого натурального числа оно не делится на 7 или не меньше 10».

Задача 3. Сформулируйте отрицание утверждения: «Для каждого натурального числа n существует натуральное число m, такое что m > n». Здесь два квантора, поэтому нужно менять их по очереди, начиная с первого. Условие m > n также нужно заменить на противоположное: для натуральных чисел это m ≤ n.

1. Первое «для каждого n» заменяем на «найдётся n».
2. Квантор «существует m» заменяем на «для каждого m».
3. Отрицаем неравенство m > n: получаем m ≤ n.

Ответ: «Найдётся натуральное число n, для которого любое натуральное число m не больше n».

Типичные ошибки

Меняют квантор, но не отрицают свойство. Так бывает, когда запоминают только замену «все» на «существует». Но фраза «существует число, которое чётное» не отрицает фразу «все числа чётные». Проверьте себя: в новом высказывании должен описываться объект, нарушающий исходное свойство.

Отрицают свойство, но оставляют исходный квантор. Например, вместо «все числа положительные» получают «все числа неположительные». Это не отрицание: исходное утверждение может быть ложным, даже если часть чисел положительна. Проверьте, что вы изменили и слова «все», и свойство.

Путают «не все» и «ни один». Ошибка возникает, если слово «не» связывают со всеми объектами сразу. «Не все числа положительные» означает, что хотя бы одно число не положительное, а не то, что ни одно число не положительное. Проверка простая: достаточно представить список, где есть и положительные, и отрицательные числа.

Забывают область или отрицают только часть условия. Тогда могут перейти, например, от натуральных чисел ко всем числам или не заметить, что в условии соединены два признака. Это меняет смысл исходного высказывания. Перед ответом назовите прежнюю область и проверьте, что отрицается всё условие целиком.

Связь с другими темами

Для работы с кванторами нужно уметь отличать истинные высказывания от ложных и понимать слова «все», «каждый» и «существует». Эти умения помогают разбирать утверждения о числах и их свойствах. При доказательстве от противного рассматривают отрицание того, что требуется доказать, поэтому правила смены кванторов помогают строить рассуждение. А контрпример, например число с нужным свойством, позволяет опровергнуть утверждение, заявленное для всех чисел.

Что запомнить

• Отрицание истинного утверждения ложно, а отрицание ложного — истинно.
• Отрицание «для всех» начинается со слов «существует хотя бы один».
• Отрицание «существует» начинается со слов «для всех … не».
• При смене квантора нужно отрицать и свойство.
• Область рассмотрения при отрицании сохраняется.
• Чтобы опровергнуть утверждение «для всех», достаточно привести один контрпример.