3. Переменная и кванторы

Определения и обозначения

Переменная — буква, обозначающая любое число из заранее оговоренного множества. Например, запись x ∈ {1, 2, 3} означает, что x может быть равен только 1, 2 или 3. Переменная отличается от конкретного числа: x — это обозначение возможного значения, а 2 — уже выбранное значение. Указание множества нужно, чтобы понимать, какие варианты разрешены.

Высказывание с переменной — утверждение, истинность которого зависит от значения переменной. Например, в записи x + 1 > 2 при x = 3 получается верное неравенство, а при x = 1 — неверное. Поэтому, пока значение x не выбрано и не задано общее условие, нельзя назвать такое утверждение просто истинным или ложным. Это понятие помогает описывать условия, подходящие одним значениям, но не другим.

Квантор всеобщности ∀ — знак, показывающий, что утверждение верно для каждого элемента рассматриваемого множества. Запись ∀x∈A P(x) читают: «для любого x из A верно P(x)». К примеру, если A = {1, 2, 3}, то утверждение должно выполняться и при x = 1, и при x = 2, и при x = 3. Такой знак нужен, когда речь идёт не об отдельном числе, а обо всём множестве.

Квантор существования ∃ — знак, показывающий, что есть хотя бы один элемент, для которого утверждение верно. Запись ∃x∈A P(x) читают: «существует x из A, для которого верно P(x)». Чтобы такое утверждение оказалось истинным, достаточно найти одно подходящее значение; остальные элементы могут условию не соответствовать. Квантор помогает точно выразить, что нужный пример существует.

Как это устроено

Переменная похожа на место, куда можно подставить разные числа, но список возможных чисел не всегда один и тот же. Например, x может обозначать натуральное число, целое число или только элемент конечного множества. От этого зависит, какие подстановки нужно рассматривать и какие утверждения окажутся верными. Если множество не указано, одна и та же фраза может получить разные смыслы, поэтому перед работой с переменной задают область допустимых значений.

Подстановка превращает выражение с переменной в конкретное утверждение, истинность которого уже можно проверить. Возьмём x + 1 > 2: при x = 4 получим 5 > 2, то есть верное утверждение, а при x = 0 — 1 > 2, то есть ложное. Причина перемены в том, что значение выражения зависит от x. Поэтому сначала выясняют, какое значение подставлено или какое множество значений рассматривается.

Условие для одного числа ещё не говорит, что оно верно для всех чисел. Чтобы сделать такое общее утверждение, записывают квантор всеобщности: ∀x∈A P(x). Например, если A = {1, 2, 3} и P(x) означает x + 1 > 0, то нужно убедиться, что неравенство верно при каждом элементе A. Квантор показывает, что проверять следует всё множество, а не только выбранный пример.

Способ проверки зависит от квантора и размера множества. Если множество конечно и содержит немного элементов, утверждение с ∀ можно проверить перебором каждого элемента, а для ∃ — найти хотя бы один подходящий. Для бесконечного множества нельзя завершить проверку простым перебором: утверждение «для всех» нужно доказать общим рассуждением. Утверждение «существует» на бесконечном множестве по-прежнему можно подтвердить конкретным примером.

Отрицание меняет смысл квантора, потому что опровергнуть фразу «все подходят» можно одним исключением. Поэтому отрицание «для любого x верно P(x)» звучит так: «существует хотя бы один x, для которого P(x) неверно». А фраза «существует x, для которого P(x) верно» отрицается словами «для всех x условие P(x) неверно». В символах это записывают так: ¬∀x∈A P(x) равносильно ∃x∈A ¬P(x), а ¬∃x∈A P(x) равносильно ∀x∈A ¬P(x).

Переменная и кванторы

Сначала найди множество A: оно показывает, какие значения x допустимы. Затем прочитай знак перед переменной: ∀ требует проверки каждого элемента, а ∃ — поиска хотя бы одного подходящего. Если нужно записать отрицание, меняй квантор и одновременно заменяй условие на противоположное.

Разбор задач

Проверяем два утверждения на конечном множестве

Пусть A = {1, 2, 3}. Определим истинность утверждений ∀x∈A x + 1 > 1 и ∃x∈A x + 1 = 3. В первом нужно проверить условие для каждого элемента, а во втором — найти хотя бы одно подходящее значение. Перебор здесь возможен, потому что множество состоит всего из трёх чисел.

1. Подставим x = 1, 2 и 3 в первое условие. Получаем соответственно 2 > 1, 3 > 1 и 4 > 1; все три неравенства верны.
2. Значит, условие выполняется для каждого элемента A, и утверждение с ∀ истинно.
3. Проверим второе условие: при x = 2 получаем 2 + 1 = 3. Одного подходящего элемента достаточно, поэтому утверждение с ∃ истинно.

Ответ: оба утверждения истинны. Для первого проверены все значения множества, а для второго найдено подходящее значение x = 2. Если бы в первом случае хотя бы одна подстановка дала неверное неравенство, утверждение с ∀ оказалось бы ложным.

Переводим фразы в запись с кванторами

Запишем утверждения «Каждое натуральное число не меньше 1» и «Существует натуральное число, квадрат которого равен 9», а затем проверим их. Переменная в обоих случаях принимает натуральные значения, поэтому укажем это множество в записи. Слова «каждое» и «существует» подсказывают, какой квантор выбрать.

1. Обозначим рассматриваемое натуральное число через x. Первую фразу записываем так: ∀x∈ℕ x ≥ 1.
2. Натуральное число 3 имеет квадрат 9, так как 3² = 9. Поэтому запись второй фразы — ∃x∈ℕ x² = 9.
3. Первая фраза истинна: каждое натуральное число не меньше 1. Вторая тоже истинна, потому что найден подходящий пример x = 3.

Ответ: ∀x∈ℕ x ≥ 1 — истинное утверждение; ∃x∈ℕ x² = 9 — также истинное. В первой записи квантор требует обобщения на все натуральные числа, а во второй достаточно предъявить число 3. Символ ℕ здесь обозначает множество натуральных чисел.

Строим отрицания и проверяем их

Нужно отрицать утверждения «Для каждого целого числа x верно x² ≥ 0» и «Существует натуральное число, меньшее 0», а затем определить истинность отрицаний. При отрицании нельзя просто поставить знак «не» перед всей фразой: нужно изменить квантор и условие. Целые числа обозначим ℤ, натуральные — ℕ.

1. Первое утверждение записывается как ∀x∈ℤ x² ≥ 0. Меняем ∀ на ∃ и условие x² ≥ 0 на противоположное x² < 0: получаем ∃x∈ℤ x² < 0.
2. Квадрат любого целого числа неотрицателен, поэтому целого числа с отрицательным квадратом нет. Первое отрицание ложно.
3. Второе исходное утверждение — ∃x∈ℕ x < 0. Его отрицание: ∀x∈ℕ x ≥ 0. Каждое натуральное число неотрицательно, поэтому это отрицание истинно.

Ответ: отрицания имеют вид ∃x∈ℤ x² < 0 и ∀x∈ℕ x ≥ 0. Первое ложно, второе истинно. При проверке полезно отдельно убедиться, что сменились и квантор, и знак условия.

Типичные ошибки

Утверждение с квантором всеобщности иногда проверяют лишь на одном или нескольких примерах. Это не доказывает, что условие верно для всех значений: неподходящий элемент может остаться непроверенным. Ошибку допускают, потому что несколько удачных подстановок создают впечатление общего правила. Проверяй себя: для конечного множества перебери каждый элемент, а для бесконечного ищи общее доказательство.

Утверждение с квантором существования принимают за верное только тогда, когда условие подходит каждому элементу. Но ∃ требует всего одного подходящего значения, остальные элементы роли не играют. Такая ошибка возникает, когда квантор существования путают с квантором всеобщности. Для проверки попробуй найти один пример, который выполняет условие; чтобы опровергнуть утверждение, убедись, что подходящих значений нет.

Если не указать множество допустимых значений, смысл утверждения может измениться. Например, утверждение о наличии числа с некоторым свойством зависит от того, рассматриваем ли мы натуральные, целые или другие числа. Причина ошибки — переменную принимают за число без ограничений. Перед проверкой выпиши область значений и убедись, что найденный пример принадлежит именно этому множеству.

При отрицании фразы «для всех» иногда ошибочно говорят «для всех условие неверно». Но первоначальное утверждение опровергает уже один элемент, для которого условие не выполняется. Путаница появляется, если менять только слова, не разбирая смысл квантора. Проверка: отрицание «для каждого x верно P(x)» должно начинаться с «существует x», а условие P(x) заменяется на противоположное.

Связь с другими темами

Для работы с переменными нужны буквенные выражения: важно уметь подставлять числа вместо букв и вычислять результат. Также нужно различать истинные и ложные равенства и неравенства, чтобы оценивать высказывания после подстановки. Множества, их элементы и знак принадлежности ∈ помогают указывать допустимые значения переменной. Кванторы используют, когда записывают определения и свойства чисел, строят доказательства и формулируют теоремы.

Что запомнить

• Переменная обозначает любое значение из заданного множества.
• Высказывание с переменной после подстановки получает определённое значение истинности.
• Знак ∀ означает «для любого» или «для каждого».
• Знак ∃ означает «существует хотя бы один».
• Для проверки утверждения с ∀ нужно учитывать все допустимые значения.
• Для проверки утверждения с ∃ достаточно найти один подходящий пример.
• Отрицание «для всех» равносильно утверждению «существует хотя бы один, для которого условие неверно».