2. Предложения с переменными

Определения и обозначения

Переменная — буква, обозначающая число, значение которого может изменяться. Например, в записи x + 4 буква x может обозначать разные числа. Переменные удобны, когда нужно описать сразу много случаев, а не записывать отдельное выражение для каждого числа.

Предложение с переменной — высказывание, содержащее переменную и приобретающее истинность или ложность после подстановки её значения. Например, x + 4 = 9 нельзя оценить, пока неизвестно, чему равен x. Это понятие помогает записывать условия, ответ на которые зависит от выбранного числа.

Значение переменной — конкретное число, которое подставляют вместо переменной. Если в равенстве x + 4 = 9 положить x = 5, вместо буквы появится число 5. Подстановка позволяет проверить условие для отдельного случая и определить, верно ли оно.

Множество истинности — все значения переменной, при которых предложение становится истинным. Если x может быть только натуральным числом, уравнение x + 4 = 9 имеет множество истинности {5}. Такая запись показывает сразу все подходящие значения, а не только одно проверенное число.

Как это устроено

Обычное высказывание можно сразу признать верным или неверным: например, 7 = 7 — верное равенство. В предложении с переменной вместо одного числа стоит буква, поэтому результат пока не определён. Это не недостаток записи: буква позволяет сформулировать условие сразу для разных чисел. Чтобы оценить его, сначала нужно узнать или выбрать значение переменной.

Подстановка превращает предложение с переменной в обычное числовое высказывание. Например, при x = 3 предложение 3x + 2 = 11 превращается в 3 · 3 + 2 = 11, то есть 11 = 11. Это верное высказывание, поэтому число 3 подходит. Если вместо x поставить 2, получится 8 = 11 — неверное равенство, значит, число 2 не подходит.

Чтобы найти множество истинности, нужно отыскать все подходящие значения, а не остановиться на первом найденном. Если допустимых чисел немного, можно подставлять их по очереди и отмечать те, для которых условие верно. Когда условие записано как равенство или неравенство, часто удобнее решить его, а затем сверить ответ с допустимыми значениями. Такой порядок помогает не пропустить решения и не включить неподходящие числа.

Одно предложение может быть верным для одних значений переменной и неверным для других, потому что после подстановки меняются числа в условии. Например, 2x < 8 при x = 2 превращается в 4 < 8 и является истинным. При x = 5 получится 10 < 8, что ложно. Именно поэтому нельзя объявить предложение с переменной просто истинным или ложным, не указав значение переменной.

Множество истинности обычно заключают в фигурные скобки: например, {1, 2, 3}. Чтобы проверить, является ли конкретное число решением, подставляют его во всё предложение и проверяют получившееся условие. Для поиска всего множества сначала выясняют, какие значения разрешены, затем проверяют их перебором или решают уравнение, неравенство либо другое условие. В конце полезно проверить найденные числа подстановкой и убедиться, что других допустимых решений нет.

Предложения с переменной и их множества истинности

В таблице сначала прочитайте, из какого множества разрешено выбирать x: от этого зависит, какие числа можно считать решениями. Затем сравните условие с подходящими значениями и посмотрите, как все решения записаны в последнем столбце. Многоточие показывает, что ряд продолжается, как у натуральных чисел, делящихся на 3.

Разбор задач

Проверяем два значения переменной

Условие. Определить, истинно или ложно предложение 3x + 2 = 11 при x = 3 и при x = 2. Здесь не требуется искать все решения: нужно проверить только два указанных числа. Для этого каждое значение подставляют вместо x во всё равенство.

1. При x = 3 получаем 3 · 3 + 2 = 11. Сначала умножаем: 9 + 2 = 11, то есть 11 = 11. Равенство верное, поэтому предложение истинно.
2. При x = 2 получаем 3 · 2 + 2 = 11. Вычисляем левую часть: 6 + 2 = 8, поэтому сравниваем 8 и 11. Равенство неверное, значит, предложение ложно.

Ответ: при x = 3 предложение истинно, при x = 2 — ложно. Сравнение результатов показывает, почему нельзя оценивать предложение, не зная значения переменной. Подстановка выполнена в обе части записи: x заменён во всём равенстве.

Находим множество истинности уравнения

Условие. Найти множество истинности предложения 5x − 7 = 18 на множестве натуральных чисел. Поскольку условие является равенством, ищем число, при котором левая часть равна правой. Сначала решим уравнение, а затем проверим полученный результат.

1. Чтобы оставить слагаемое с x, прибавляем 7 к обеим частям: 5x = 25. Так сохраняется равенство, потому что к обеим его частям добавлено одно и то же число.
2. Делим обе части на 5 и получаем x = 5. Число 5 натуральное, значит, оно входит в множество допустимых значений.
3. Проверяем подстановкой: 5 · 5 − 7 = 25 − 7 = 18. Равенство верно, следовательно, найденное значение действительно подходит.

Ответ: множество истинности — {5}. Проверка подтверждает, что 5 является решением, а преобразования уравнения показывают, что другого значения быть не может. Фигурные скобки обозначают множество, состоящее здесь из одного числа.

Находим множество истинности неравенства

Условие. Найти множество истинности предложения 2x + 1 < 10 на множестве натуральных чисел. Неравенство задаёт все числа, для которых левая часть меньше правой. Сначала выясним, каким должно быть x, затем оставим только натуральные значения.

1. Вычитаем 1 из обеих частей: 2x < 9. Затем делим на 2 и получаем x < 4,5. Значит, подходят числа меньше 4,5.
2. Перечисляем натуральные числа, удовлетворяющие этому условию: 1, 2, 3 и 4. Ноль и отрицательные числа не включаем, так как они не являются натуральными.
3. Проверяем крайние подходящие значения: при x = 4 получаем 9 < 10 — верно, а при следующем натуральном числе x = 5 получаем 11 < 10 — неверно. Значит, список решений заканчивается на 4.

Ответ: множество истинности — {1, 2, 3, 4}. Мы учли одновременно результат решения неравенства и то, что значения должны быть натуральными. Проверка показывает, что все записанные числа подходят, а ближайшее следующее уже не подходит.

Типичные ошибки

Иногда предложение с переменной объявляют истинным или ложным, не указав значение буквы. Так происходит, когда его принимают за обычное числовое равенство, хотя число ещё не задано. Проверьте себя вопросом: могу ли я подставить разные значения и получить разные результаты? Если да, сначала укажите значение переменной.

При подстановке бывает, что число заменяют только в одном месте, а остальную часть условия оставляют без изменения. Причина обычно в спешке или в том, что ученик воспринимает запись как отдельные фрагменты. Чтобы избежать ошибки, обведите каждое вхождение переменной и замените его, затем пересчитайте всё предложение целиком. В конце сравните обе части равенства или неравенства.

Найденное решение иногда записывают как всё множество истинности, хотя других решений может быть несколько. Одно подходящее число подтверждает лишь то, что оно является решением, но не доказывает, что решений больше нет. Проверьте, требуется ли найти одно значение или все значения, и исследуйте остальные допустимые числа. При ответе в виде множества перечислите каждый найденный элемент.

Можно получить верные числа, но забыть, что переменная выбирается из заданного множества. Например, решение среди целых чисел может быть отрицательным, а среди натуральных такое число не подойдёт. Эта ошибка возникает, если решать уравнение отдельно от условия задачи. Перед записью ответа сверьте каждое число с допустимой областью и исключите недопустимые значения.

Связь с другими темами

Для работы с предложениями с переменной нужно уметь подставлять числа в буквенные выражения и соблюдать порядок арифметических действий. Эти навыки помогают правильно вычислить значение каждой части условия. Если вычисления выполнены неверно, можно ошибочно признать истинное предложение ложным или наоборот.

Предложения с переменной подготавливают к изучению уравнений и неравенств: их решение как раз помогает находить значения, при которых условие становится истинным. Буквенные условия также используются при решении задач, когда одно правило нужно описать для разных чисел. Поэтому важно уметь не только подставлять значения, но и находить все подходящие варианты.

Понятие множества истинности позволяет точно описать решения математического условия и сравнивать предложения. Например, можно увидеть, что решения одного условия входят в множество решений другого. Такой способ записи пригодится в дальнейшем, когда условий и переменных станет больше.

Что запомнить

• Предложение с переменной становится конкретным высказыванием после подстановки значения переменной.
• Одно и то же предложение может быть истинным и ложным при разных значениях переменной.
• Решением предложения называют значение переменной, при котором предложение истинно.
• Множество истинности состоит из всех решений предложения.
• При нахождении решений нужно учитывать допустимые значения переменной.
• Результат следует проверять обратной подстановкой.