2. Предложения с переменными

Определения и обозначения

Предложение с переменной — фраза, содержащая переменную, истинность которой зависит от её значения. Например, x + 4 = 9 нельзя сразу назвать истинным или ложным, пока неизвестно, чему равен x. Это понятие помогает описывать сразу много похожих случаев одной записью.

Значение переменной — число, которое подставляют вместо переменной, чтобы получить обычное предложение. Если вместо x в записи x + 4 = 9 поставить 5, получится 5 + 4 = 9. Значения нужны для проверки разных вариантов.

Решение предложения с переменной — значение переменной, при котором полученное предложение истинно. Например, число 5 является решением предложения x + 4 = 9, потому что после подстановки получается верное равенство. Решение показывает, какой вариант действительно подходит.

Множество решений — все значения переменной, при которых предложение истинно. Его записывают в фигурных скобках, например {1, 2, 3}, или обозначают ∅, если подходящих значений нет. При записи учитывают, какие числа разрешено рассматривать.

Как это устроено

Подстановка числа вместо переменной превращает предложение с переменной в обычное высказывание. Пока буква не заменена числом, неизвестно, верно ли равенство или неравенство. После подстановки можно выполнить вычисления и дать точный ответ: «истинно» или «ложно».

Одно и то же предложение бывает истинным при одних значениях и ложным при других, потому что меняется результат вычисления. Например, в предложении x < 4 число 2 подходит, а число 6 не подходит. Поэтому нельзя заранее назвать всё предложение только истинным или только ложным.

Чтобы проверить, является ли число решением, его подставляют вместо переменной и проверяют получившееся предложение. Если буква встречается несколько раз, число заменяет каждое её вхождение, иначе получится другая запись. Например, при проверке x + x = 10 для x = 5 нужно получить 5 + 5 = 10.

Множество решений находят перебором допустимых значений или рассуждением. Перебор удобен, когда вариантов мало, а рассуждение помогает быстро решить уравнение или понять условие неравенства. В обоих случаях каждое найденное значение нужно проверить в исходном предложении.

Если ни одно допустимое значение не делает предложение истинным, множество решений пусто. Если подходят все значения из рассматриваемой области, решениями будут все они. Поэтому ответ зависит не только от самой записи, но и от того, какие числа разрешено брать.

Как исследовать предложение с переменной

Пользуйся таблицей как алгоритмом проверки. Сначала замени переменную, затем установи истинность и только после этого решай, подходит ли число. В конце запиши не отдельные рассуждения, а всё множество найденных решений.

Разбор задач

Задача 1

Условие: для предложения «x + 4 = 9» проверить, является ли число 5 его решением. Нужно не просто назвать число подходящим, а показать проверку подстановкой.

1. Заменим x числом 5: 5 + 4 = 9.
2. Вычислим левую часть: 5 + 4 = 9.
3. Получили верное равенство, значит, исходное предложение истинно при x = 5.

Ответ: да, число 5 является решением.

Задача 2

Условие: найти все целые неотрицательные решения предложения «x < 4». Целые неотрицательные числа — это 0, 1, 2, 3 и так далее, поэтому ноль тоже нужно рассматривать.

1. Перечислим числа от 0 до 3: 0, 1, 2, 3. Числа, большие или равные 4, уже не могут удовлетворять условию.
2. Проверим каждое число: 0 < 4, 1 < 4, 2 < 4, 3 < 4. Все четыре неравенства истинны.
3. Объединим подходящие значения в одно множество.

Ответ: множество решений — {0, 1, 2, 3}.

Задача 3

Условие: найти натуральные решения предложения «2x + 1 = 9» и записать их множество. Здесь удобнее не перебирать числа, а преобразовать равенство.

1. Вычтем 1 из обеих частей: 2x = 8.
2. Разделим обе части на 2: x = 4.
3. Число 4 натуральное, поэтому оно допустимо. Проверка даёт 2 · 4 + 1 = 9, то есть верное равенство.

Ответ: множество решений — {4}.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать предложение истинным или ложным до подстановки значения. Так делают, потому что путают предложение с переменной и готовое высказывание. Проверь себя: сначала найди переменную и уточни, какое её значение рассматривается.

Ошибка 2. Подставить число не во все вхождения переменной. Ошибка появляется, когда ученик замечает только первую букву в длинной записи. Проверь каждое место с переменной, например x + x нужно заменить на 5 + 5.

Ошибка 3. Назвать решением любое выбранное значение. Сам факт подстановки ещё не доказывает, что число подходит. Выполни вычисления и оставь значение только тогда, когда полученное предложение истинно.

Ошибка 4. Записать найденные числа, не указав область рассматриваемых значений. Одни и те же условия проверяются по-разному на натуральных, целых и неотрицательных числах. Перед решением выпиши, какие значения разрешены, а после решения сравни ответ с этой областью.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь подставлять числа в буквенные выражения и выполнять арифметические действия. Без этих навыков трудно правильно получить высказывание после замены переменной.

Тема опирается на понимание равенств, неравенств и истинных или ложных высказываний. Эти знания позволяют определить, подходит ли найденное значение.

Понятие решения понадобится при изучении уравнений и неравенств. Там нужно будет находить не отдельную проверку, а все значения, превращающие условие в истинное.

Что запомнить

• Подстановка значения превращает предложение с переменной в обычное высказывание.
• Истинность предложения может меняться при изменении значения переменной.
• Решением является только значение, при котором предложение истинно.
• Множество решений включает все подходящие значения.
• При проверке учитывают, какие значения переменной рассматриваются.
• Пустое множество решений означает, что подходящих значений нет.