"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Переменная — это буква, которая обозначает число, способное изменяться. С её помощью одна математическая запись описывает сразу множество случаев: например, выражение a + 7 подходит для любого числа a. Чтобы найти значение выражения, вместо переменной подставляют заданное число и выполняют действия по правилам. Также нужно проверять, допустима ли такая подстановка, особенно если переменная находится в знаменателе дроби.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Переменная — буква, которой обозначают число, значение которого может меняться. Например, буква a может обозначать 3, 10 или другое число. Переменная нужна, чтобы не записывать отдельно каждый возможный числовой случай.
Выражение с переменной — запись, составленная из чисел, переменных, знаков действий и скобок. Примеры: x + 5, 3a − 2, (b + 4) · 6. Такие записи помогают коротко описывать действия с неизвестным или изменяющимся числом.
Значение выражения с переменной — число, полученное после подстановки вместо переменной заданного числа и выполнения действий. Например, при x = 4 выражение x + 5 имеет значение 9. Это понятие позволяет перейти от общей записи к конкретному вычислению.
Допустимое значение переменной — такое значение, при котором выражение имеет смысл. Например, в дроби 7/(x − 1) нельзя брать x = 1, потому что знаменатель станет равен нулю. Проверка допустимости защищает от невозможного действия — деления на ноль.
Конкретное число описывает только один случай, а буква может обозначать разные числа. Поэтому запись с переменной подходит сразу для целого набора задач: выражение a + 7 означает «к некоторому числу прибавили 7». Выбирая разные значения a, мы получаем разные числовые примеры, не меняя саму запись.
Чтобы составить выражение по словесному описанию, сначала выделяют число, которое может изменяться, и обозначают его буквой. Затем определяют действие над ним: «увеличили на 7» означает a + 7, а «уменьшили в 3 раза» — a : 3. Такой перевод слов на язык математических знаков помогает точно записать условие и не потерять нужное действие.
Для вычисления сначала заменяют переменную заданным числом. Если число отрицательное или выражение содержит несколько действий, подстановку удобно показывать в скобках: 2x + 1 при x = 3 превращается в 2 · 3 + 1. После этого считают по обычному порядку: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.
Одно выражение может иметь разные значения, потому что меняется число, подставленное вместо переменной. Например, 2x при x = 4 равно 8, а при x = 10 равно 20. Однако допустимы не все подстановки: в выражении с делением нужно найти такие значения, при которых знаменатель не обращается в ноль.
В таблице собраны основные действия с переменными. Пример в последнем столбце показывает, как правило выглядит в записи. Используйте таблицу как памятку: сначала определите переменную, затем подставьте её значение и проверьте допустимость.
| Понятие или действие | Что означает | Пример |
|---|---|---|
| Переменная | Буква, обозначающая изменяющееся число | a |
| Выражение с переменной | Числа, переменные и действия, соединённые в одну запись | 3x − 4 |
| Подстановка значения переменной | Замена буквы заданным числом во всех местах | при x = 6: 3x − 4 → 3 · 6 − 4 |
| Вычисление значения выражения | Выполнение действий после подстановки | 3 · 6 − 4 = 14 |
| Допустимое значение переменной | Значение, при котором выражение имеет смысл | для 5/(x − 2): x ≠ 2 |
Нужно перевести словесное описание в математическую запись. Переменная a уже обозначает исходное число, а слово «увеличили» подсказывает действие сложения.
Ответ: a + 7.
Сначала заменим букву x числом 6, затем выполним действия. Умножение нужно сделать раньше вычитания.
Ответ: 14.
Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон. Каждая из двух сторон встречается два раза, поэтому выражение удобно записать как P = 2a + 2(a + 3).
Ответ: P = 2a + 2(a + 3); при a = 4 периметр равен 22.
Переменную принимают за неизвестное число, которое обязательно нужно найти. Но её значение может быть уже задано или меняться в разных случаях. Проверьте себя: если в условии сказано «при x = 5», искать x не нужно — его следует подставить.
При подстановке заменяют только первое появление переменной. Это искажает выражение, если буква встречается несколько раз. Проверьте каждое место с этой буквой, например x + 2x при x = 3 должно стать 3 + 2 · 3.
После подстановки начинают считать сложение раньше умножения. Такая ошибка нарушает порядок действий и меняет ответ. Проверьте выражение: сначала выполняйте действия в скобках, затем умножение или деление, и только потом сложение или вычитание.
Любое число считают допустимым даже в выражении с делением. Однако знаменатель не может быть нулём, поэтому сначала найдите, при каком значении он обращается в ноль. Например, для 5/(x − 2) нужно исключить x = 2.
До изучения переменных нужно уметь выполнять действия с натуральными числами и числовыми выражениями. Особенно пригодятся порядок действий и умение раскрывать смысл скобок. Эти навыки позволяют правильно вычислять выражение после подстановки.
Выражения с переменными становятся основой формул, уравнений и описания зависимостей между величинами. С их помощью можно записать периметр фигуры, стоимость покупки или путь, пройденный за время. Позже такие записи помогут находить неизвестные величины и сравнивать разные случаи.
Зачем в математике используют переменные?
Переменные позволяют одной записью описывать множество похожих случаев. Например, a + 7 показывает, что к любому числу a прибавили 7.
Чем выражение с переменной отличается от числового выражения?
В числовом выражении есть только числа и знаки действий, поэтому его значение обычно можно сразу вычислить. В выражении с переменной сначала нужно знать или выбрать значение буквы.
Как найти значение выражения при заданном значении переменной?
Нужно заменить переменную указанным числом, если требуется, заключив его в скобки, а затем вычислить получившееся числовое выражение. Порядок действий при этом сохраняется.
Что делать, если одна и та же переменная встречается в выражении несколько раз?
Во всех местах нужно подставить одно и то же заданное значение. Например, при x = 3 выражение x + 2x превращается в 3 + 2 · 3.
Почему не каждое число можно подставить вместо переменной?
Некоторые подстановки делают выражение бессмысленным. Например, знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому такое значение переменной является недопустимым.
1. Понятие переменной. Выражения с переменными
