1. Понятие переменной. Выражения с переменными

Определения и обозначения

Переменная — буква, которой обозначают число, значение которого может меняться. Например, буквой a можно обозначить число яблок в коробке или длину отрезка. Буква помогает рассуждать о разных числах, не переписывая решение для каждого из них.

Выражение с переменными — запись, составленная из чисел, переменных, знаков действий и скобок. Например, 3a + 1 — выражение: в нём есть число, буква и знаки действий. Такие записи позволяют коротко показывать, какие действия нужно выполнить с выбранным числом.

Значение переменной — число, которое подставляют вместо буквы. Если сказано, что a = 4, это означает: в выражении вместо каждой буквы a нужно поставить число 4. Указанное значение нужно, чтобы перейти от общей записи к конкретному вычислению.

Значение выражения с переменными — число, полученное после подстановки значений переменных и выполнения действий. Так, при a = 4 выражение 3a + 1 превращается в 3 · 4 + 1, а его значение равно 13. Отличай саму запись от результата: без значения переменной выражение обычно ещё не задаёт одно конкретное число.

Как это устроено

Буквы используют, когда одна и та же зависимость подходит для разных чисел. Например, если цена одного карандаша равна p, то стоимость трёх карандашей можно записать как 3p. Меняется цена — меняется и результат, но правило остаётся тем же. Поэтому буквенная запись экономит время и помогает описывать сразу множество случаев.

Выражение составляют из чисел и переменных с помощью знаков действий и скобок. Например, в записи 2 · (a + 5) сначала складывают a и 5, а результат умножают на 2. Скобки нужны, чтобы показать, какие действия связаны между собой и что следует выполнить раньше. Если изменить скобки или знаки, получится другая запись и, возможно, другое значение.

Когда значения переменных заданы, каждую букву заменяют соответствующим числом. Так буквенное выражение становится числовым, и его можно вычислить. Например, при a = 3 выражение 5a + 2 превращается в 5 · 3 + 2. Результат относится именно к этому значению a; при другом числе значение выражения может измениться.

После подстановки соблюдают обычный порядок действий: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. Если действия одного порядка несколько, их выполняют слева направо. Это правило нужно, чтобы один и тот же пример все вычисляли одинаково и получали одинаковый результат. Поэтому нельзя просто считать все действия подряд, начиная с левого края.

Не каждое число можно подставить: некоторые значения делают запись бессмысленной. Например, деление на ноль не определено, поэтому в выражении 8 : (x − 2) нельзя взять x = 2. При других значениях знаменатель не равен нулю, и вычисление возможно. Перед решением проверь, не возникает ли запрещённое действие после подстановки.

Числовые выражения и выражения с переменными

Сначала посмотри, есть ли в записи буквы. Если они есть, найди заданные значения переменных и проверь, что подстановка допустима. Затем вычисляй, соблюдая порядок действий.

Разбор задач

1. Найди значение выражения 18 − 3 · 4.

В этом примере переменных нет, но он напоминает правило, которое понадобится при вычислениях после подстановки. Нельзя начинать с вычитания только потому, что оно записано первым. Сначала выясним, какое действие имеет приоритет.

1. В выражении есть вычитание и умножение. Умножение выполняют раньше вычитания.
2. Вычислим произведение: 3 · 4 = 12.
3. Вычтем полученное число из 18: 18 − 12 = 6.

Ответ: 6.

2. Найди значение выражения 5a + 2 при a = 3.

Буква a обозначает число, которое нам уже сообщили: 3. Подставим это число, не меняя знаки действий. После подстановки останется числовой пример, и для него применим обычный порядок действий.

1. Заменим a числом 3: 5 · 3 + 2.
2. Сначала выполним умножение: 5 · 3 = 15.
3. Прибавим 2: 15 + 2 = 17.

Ответ: 17.

3. Найди значение выражения (x + 6) : (x − 2) при x = 5 и объясни, можно ли подставить x = 2.

В выражении две скобки, а между ними стоит деление. Сначала проверим, не станет ли знаменатель равен нулю: это помогло бы заметить недопустимое значение до вычислений. Затем подставим допустимое число и посчитаем действия в скобках.

1. При x = 5 знаменатель равен 5 − 2 = 3, значит, деление на ноль не возникает.
2. Подставим 5: (5 + 6) : (5 − 2).
3. Вычислим в скобках: 11 : 3 = 11/3.
4. При x = 2 знаменатель был бы 2 − 2 = 0. Делить на ноль нельзя, поэтому такую подстановку выполнить нельзя.

Ответ: при x = 5 значение выражения равно 11/3; x = 2 подставлять нельзя.

Типичные ошибки

При подстановке иногда меняют не только букву, но и саму запись: например, забывают скобки или знак действия. Это происходит, когда замену делают невнимательно, а не следят за устройством выражения. Сохраняй все знаки и скобки, а затем сравни полученную запись с исходной: измениться должна только буква.

Другая ошибка — выполнять действия слева направо, не учитывая их порядок. Так можно начать с вычитания в выражении 18 − 3 · 4 и получить неверный результат. Перед вычислением отметь действия в скобках, умножение и деление, сложение и вычитание; после решения проверь, что сначала выполнены действия с более высоким приоритетом.

Иногда считают, что переменная может принимать любое число, даже если при подстановке появляется деление на ноль. Такое заблуждение возникает, если смотреть только на букву и не проверять всё выражение. Подставь предполагаемое число в знаменатель: если он равен нулю, это значение не подходит.

Запись 3a + 1 иногда принимают за готовое число. Но пока значение a неизвестно, результат вычислить нельзя: при разных a получатся разные числа. Проверь себя вопросом «известно ли, чему равна переменная?». Если нет, перед тобой выражение, а не его конкретное значение.

Связь с другими темами

До изучения переменных нужно уметь читать числовые выражения, выполнять вычисления со скобками и соблюдать порядок действий. Эти навыки нужны, потому что после подстановки буквенное выражение превращается в числовой пример. Переменные используются в формулах, уравнениях и при описании зависимостей между величинами.

Подстановка помогает проверять равенства: можно заменить букву числом и сравнить результаты. Она также пригодится при решении задач, где величины обозначают буквами. Так общая запись связывает правило с конкретным числовым случаем.

Что запомнить

• Переменная обозначается буквой и может принимать разные значения.
• Выражение с переменными составляют из чисел, букв и знаков действий.
• Чтобы найти значение выражения, подставь заданные значения переменных.
• После подстановки выполняй действия в установленном порядке.
• Перед вычислением проверь, имеет ли смысл подстановка.