§ 2. Переменная

Определения и обозначения

Переменная — это буква, которой обозначают число, значение которого может меняться. Например, буквой a можно обозначить сначала число 2, а затем число 5. Букву можно заменить разными числами, потому что она служит условным обозначением числа, а не самим числом.

Выражение с переменной — это запись, в которой есть переменная, числа и знаки действий, например a + 3. В числовом выражении, например 8 + 3, переменных нет, поэтому его значение можно найти сразу. Буква позволяет записать сразу целую группу похожих примеров.

Значение выражения с переменной — число, которое получается после подстановки заданного числа вместо переменной и выполнения действий. Например, если в a + 3 вместо a поставить 4, значение выражения будет 7. Это понятие помогает получить конкретный ответ из общей записи.

Подстановка значения переменной — замена буквы указанным числом. Если подставляют отрицательное число, его заключают в скобки: при a = −2 запись a + 3 превращается в (−2) + 3. Скобки показывают, что отрицательное число целиком занимает место буквы.

Как это устроено

Одна переменная позволяет описать много числовых случаев одной короткой записью. Например, выражение a + 3 означает «к некоторому числу прибавить 3»: если a = 2, получится 5, а если a = 10 — 13. Это удобно, потому что правило остаётся тем же, даже когда меняется исходное число.

Чтобы найти значение выражения, сначала заменяют букву заданным числом, а потом считают. Такой порядок нужен, чтобы стало ясно, какие именно числа участвуют в действиях. После подстановки действуют обычные правила: сначала умножают и делят, затем складывают и вычитают, если скобки не задают другой порядок.

Если переменная встречается несколько раз, её значение подставляют во все вхождения. Например, при x = 4 выражение 2x + x превращается в 2 · 4 + 4, потому что обе буквы x обозначают одно и то же число. Если заменить только первую букву, запись будет означать уже не исходное выражение.

Отрицательное число при подстановке заключают в скобки, чтобы сохранить структуру выражения. Например, при x = −2 выражение 5 − x записывается как 5 − (−2), а его значение равно 7. Без скобок запись 5 − −2 выглядит неясно и может привести к ошибке со знаками.

Одно выражение может давать разные результаты при разных значениях переменной. Например, a + 3 при a = 1 равно 4, а при a = 6 равно 9. Поэтому сама буква не задаёт единственного ответа: для вычисления нужно знать, какое число ей соответствует.

Переменная и выражение с переменной

Пользуйся таблицей по порядку: сначала определи переменную и выражение, затем подставь заданное число. После этого выполни действия и запиши полученное значение. Так удобно отличать саму запись от результата вычисления.

Разбор задач

Задача 1. Найти значение выражения a + 7 при a = 5.

Нужно узнать, какое число обозначает a, и заменить букву этим числом. В выражении есть только сложение, поэтому после подстановки останется одно действие. Выполним его и запишем результат.

1. Подставляем a = 5: a + 7 = 5 + 7.
2. Складываем: 5 + 7 = 12.

Ответ: 12.

Задача 2. Найти значение выражения 3x − 4 при x = 6.

Сначала заменим x числом 6, получив 3 · 6 − 4. Здесь есть умножение и вычитание, поэтому сначала выполняем умножение. Затем из полученного числа вычитаем 4.

1. Подставляем значение переменной: 3x − 4 = 3 · 6 − 4.
2. Выполняем умножение: 3 · 6 = 18, значит, получаем 18 − 4.
3. Вычитаем: 18 − 4 = 14.

Ответ: 14.

Задача 3. Найти значение выражения 2a − (a + 3) при a = −2.

Буква a встречается дважды, поэтому в обоих местах ставим число −2. Заключаем его в скобки, чтобы не потерять знак минус. Затем вычисляем выражение в скобках и выполняем вычитание.

1. Подставляем: 2 · (−2) − ((−2) + 3).
2. Считаем умножение и действие в скобках: −4 − 1.
3. Вычитаем: −4 − 1 = −5.

Ответ: −5.

Типичные ошибки

Заменяют только одно вхождение переменной. Такую ошибку допускают, когда сосредотачиваются на первой попавшейся букве и забывают остальные. Но все одинаковые буквы в выражении обозначают одно число. Проверь себя: обведи каждое вхождение переменной и убедись, что заменил их все.

Не заключают отрицательное число в скобки. Из-за этого можно неверно понять, к какой части записи относится минус. Например, при подстановке −2 вместо x в выражение 5 − x нужно написать 5 − (−2). Проверяй, что знак числа тоже попал в скобки.

Нарушают порядок действий. Например, начинают складывать или вычитать раньше, чем выполняют умножение. Это происходит, если после подстановки воспринимать запись как обычный пример без правил. Проверь себя: сначала найди действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание.

Считают, что у выражения с переменной всегда один ответ. Буква не сообщает, какое именно число нужно подставить, поэтому результат зависит от её значения. Например, a + 3 при a = 1 и при a = 6 даёт разные ответы. Если значение буквы не задано, проверь, можно ли вообще вычислить одно конкретное число.

Связь с другими темами

Чтобы работать с переменными, нужно уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами, дробями и отрицательными числами. После подстановки перед тобой оказывается обычное числовое выражение, поэтому пригодятся знакомые правила вычислений. Особенно полезно уверенно обращаться со знаками и порядком действий.

Переменные используют в формулах, уравнениях и при описании зависимостей между величинами. Формула показывает связь чисел с помощью букв, а уравнение помогает найти неизвестное значение. Поэтому умение подставлять числа в выражение станет основой для дальнейшей работы с такими записями.

Что запомнить

• Переменную обозначают буквой.
• Значение переменной может меняться.
• Чтобы вычислить значение выражения, подставь число вместо каждой переменной.
• Отрицательное число при подстановке удобно заключать в скобки.
• После подстановки соблюдай порядок действий.
• Разные значения переменной могут дать разные значения выражения.