"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Высказывание о существовании сообщает, что хотя бы один объект подходит под заданное условие. Его отрицание утверждает обратное: подходящих объектов нет совсем. Чтобы правильно составить такое отрицание, нужно сохранить область рассмотрения и условие, но заменить наличие хотя бы одного объекта на отсутствие любого подходящего объекта. Это помогает проверять истинность утверждений о числах, фигурах и других объектах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание о существовании — это утверждение, что найдётся хотя бы один объект с указанным свойством. Например: «Существует натуральное число, большее 10». Такое определение нужно, чтобы понимать: для подтверждения достаточно найти один подходящий объект.
Отрицание высказывания о существовании — утверждение, что ни один объект не обладает указанным свойством. Фраза «не существует натурального числа, большего 10» означает отсутствие подходящих чисел во всей области. Это помогает точно формулировать обратное утверждение.
Контрпример — объект, который опровергает общее утверждение. Если утверждают, что подходящих объектов нет, найденный подходящий объект служит контрпримером этому отрицанию. Поэтому при проверке нужно отличать один найденный объект от доказательства отсутствия всех объектов.
Область рассмотрения — множество объектов, среди которых ищут объект с заданным свойством. Это могут быть натуральные, целые числа или фигуры определённого вида. Без указания области смысл высказывания бывает неполным, потому что результат поиска зависит от выбранных объектов.
В высказывании о существовании нужно назвать область поиска и свойство подходящего объекта. Без области непонятно, где именно искать, а без свойства непонятно, какой объект считать подходящим. Например, фраза «существует число» слишком общая, а фраза «среди натуральных чисел существует число, большее 10» задаёт точную задачу.
Чтобы отрицать утверждение «существует объект с таким свойством», говорят, что подходящего объекта не существует. Причина проста: исходное утверждение достаточно подтвердить одним примером, поэтому его отрицание должно запрещать каждый такой пример. Нельзя оставить слово «существует», иначе получится не обратное утверждение, а другое высказывание.
Отрицание существования означает отсутствие подходящего объекта во всей области рассмотрения. Несколько неудачных поисков ещё не доказывают отрицание, потому что нужный объект может находиться среди непроверенных. Полное доказательство требует рассмотреть всю область или использовать правило, которое объясняет невозможность подходящего объекта.
Разобрать отрицание удобно по частям: сначала определить, среди каких объектов ведётся поиск, затем выделить условие. После этого выражение «существует хотя бы один объект, удовлетворяющий условию» заменяют на «ни один объект не удовлетворяет условию». Так сохраняется содержание условия, но меняется его количественный смысл.
Проверить отрицание можно на примерах. Если найден хотя бы один подходящий объект, исходное высказывание истинно, а его отрицание ложно. Если доказано, что подходящих объектов нет во всей области, исходное высказывание ложно, а отрицание истинно.
| Исходное высказывание | Его отрицание | Что проверяют |
|---|---|---|
| Существует объект с указанным свойством | Ни один объект не обладает этим свойством | Есть ли хотя бы один подходящий объект |
| Существует число, удовлетворяющее условию | Нет ни одного числа, удовлетворяющего условию | Все ли числа рассматриваемой области проверены |
| Существует фигура с указанным признаком | Ни одна фигура не имеет такого признака | Не пропущен ли подходящий объект |
Сначала найдите в левом столбце область поиска и условие. Затем прочитайте средний столбец: там утверждается отсутствие любого подходящего объекта. Последний столбец подсказывает, что именно нужно проверить, чтобы сделать вывод.
Сформулируем отрицание высказывания: «Существует натуральное число, большее 10 и меньшее 12». Область рассмотрения — натуральные числа, а условие — быть больше 10 и меньше 12. Нужно отрицать не отдельную часть условия, а существование подходящего числа.
Ответ: не существует натурального числа, большего 10 и меньшего 12. На самом деле между 10 и 12 нет натурального числа, поэтому это отрицание истинно.
Проверим высказывание: «Существует чётное простое число больше 2». Простое число имеет ровно два делителя, а единственное чётное простое число — 2. Значит, среди чисел больше 2 подходящего объекта нет.
Ответ: исходное высказывание ложно. Его отрицание: «Не существует чётного простого числа больше 2», и оно истинно.
Сформулируем отрицание: «Среди целых чисел существует число, квадрат которого равен 5». Область рассмотрения — целые числа, а свойство — квадрат числа равен 5. Нужно установить, может ли такое целое число существовать.
Ответ: «Среди целых чисел не существует числа, квадрат которого равен 5». Полученное высказывание истинно.
Ошибка: отрицать только часть условия, оставляя слово «существует». Так меняется исходное свойство, но не отрицается наличие объекта. Проверьте себя: в готовом отрицании должно появиться «не существует» или «ни один не подходит».
Ошибка: заменять «существует» на «все». Эти слова имеют разный смысл: первое требует хотя бы одного примера, а второе говорит о каждом объекте области. Спросите себя, утверждается ли отсутствие подходящих объектов, а не свойство всех объектов.
Ошибка: считать несколько неудачных проверок доказательством отсутствия объекта. Непроверенный объект всё ещё может оказаться подходящим. Уточните область и убедитесь, что рассмотрены все её элементы или приведено общее доказательство невозможности.
Ошибка: не указывать область рассмотрения. Тогда неизвестно, среди каких объектов нужно искать и к чему относится отрицание. Проверьте формулировку: в ней должны быть названы числа, фигуры или другие объекты, которые рассматриваются.
До этой темы нужно уметь отличать истинные и ложные высказывания и понимать условие задачи. Это позволяет определить, что именно проверять: наличие одного подходящего объекта или отсутствие всех подходящих объектов. Также полезно внимательно читать слова «существует», «любой» и «ни один».
Понятие отрицания пригодится при формулировании свойств чисел и фигур. Оно помогает строить доказательства: найденный пример подтверждает существование, а объяснение невозможности подтверждает его отрицание. Такой способ рассуждения встречается в разных разделах математики.
Как правильно отрицать высказывание со словами «существует» или «найдётся»?
Нужно заменить смысл «существует хотя бы один подходящий объект» на «не существует ни одного подходящего объекта». Область поиска и условие объекта при этом сохраняются.
Почему отрицание «существует» — это «не существует», а не «все»?
Слово «существует» означает наличие хотя бы одного объекта. Его отрицание означает полное отсутствие подходящих объектов, а не то, что все объекты обладают свойством.
Нужно ли при отрицании менять условие, которому должен удовлетворять объект?
Нет, само условие сохраняется. Меняется только утверждение о наличии объекта: «существует» заменяется на «не существует» или «ни один не подходит».
Как понять, истинно ли высказывание о существовании?
Нужно найти хотя бы один объект из указанной области, который удовлетворяет условию. Если такой объект найден, высказывание истинно; если подходящих объектов нет, оно ложно.
Почему важно указывать, среди каких объектов ведётся поиск?
Один и тот же объект может существовать в одной области и не существовать в другой. Например, условие может выполняться среди действительных чисел, но не выполняться среди целых.
3. Отрицание высказываний о существовании
