"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Высказывание о существовании сообщает, что хотя бы один подходящий объект найти можно. Его отрицание утверждает обратное: подходящих объектов нет совсем. Чтобы подтвердить существование, достаточно привести один пример, а чтобы доказать отсутствие, нужно рассмотреть все объекты заданного множества или провести общее рассуждение. Особенно важно не менять множество чисел и правильно отрицать составное условие.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высказывание о существовании — утверждение, что найдётся хотя бы один объект с указанным свойством. Например, фраза «существует натуральное число, большее 10» сообщает о наличии хотя бы одного такого числа. Это определение нужно, чтобы понимать: для проверки достаточно найти один подходящий объект.
Отрицание высказывания — высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда исходное ложно. Если исходное предложение утверждает наличие подходящего объекта, его отрицание говорит, что такого объекта нет. Это помогает точно формулировать обратное утверждение, а не просто менять случайное слово.
Контрпример — объект, который показывает, что утверждение «все объекты обладают свойством» неверно. Например, число 3 является контрпримером к утверждению «все натуральные числа делятся на 2». Контрпример нужен для опровержения общего утверждения, но одного неподходящего объекта недостаточно, чтобы доказать отсутствие всех подходящих.
Слова «существует», «найдётся», «можно указать» показывают наличие хотя бы одного подходящего объекта, потому что говорящий обещает предъявить такой объект. Если условие относится к числам, объектом обычно является конкретное число. Поэтому, найдя число, которое удовлетворяет условию, мы сразу подтверждаем всё высказывание.
Чтобы отрицать существование, нужно утверждать, что подходящего объекта нет. Причина проста: высказывание о существовании ложно только в том случае, когда каждый объект из рассматриваемого множества не подходит. Поэтому фраза «такого числа не существует» означает не отсутствие одного примера, а отсутствие всех возможных примеров.
Слова «не существует объекта с таким свойством» равносильны словам «для любого объекта это свойство не выполняется». Мы заменяем поиск хотя бы одного подходящего объекта рассмотрением каждого объекта из множества. Такая форма особенно удобна в доказательстве: можно показать, почему условие невозможно выполнить для любого объекта.
Для проверки самого высказывания достаточно найти один подходящий пример, потому что слово «существует» означает «есть хотя бы один». Для проверки его отрицания одного неподходящего примера недостаточно: другие объекты ещё могут подойти. Нужно перебрать все объекты, если их конечное число, или доказать невозможность общим рассуждением.
При отрицании сохраняется множество, указанное в исходном предложении. Например, вопрос о натуральном числе нельзя незаметно превратить в вопрос обо всех целых числах: среди целых могут появиться дополнительные кандидаты. Сначала назовите множество, затем отрицайте существование подходящего элемента именно в нём.
Таблица показывает, как перейти от утверждения о наличии объекта к утверждению об отсутствии подходящих объектов. В последнем столбце указано, что именно требуется доказать. При решении задачи сначала определите множество объектов, затем выясните, достаточно ли одного примера или нужно рассуждение для всех.
| Исходное высказывание | Его отрицание | Что нужно установить |
|---|---|---|
| Существует объект с указанным свойством | Не существует объекта с этим свойством | Что ни один объект не обладает свойством |
| Найдётся число, удовлетворяющее условию | Не найдётся такого числа | Что условие не выполняется ни для одного числа из заданного множества |
| Можно указать пример, подтверждающий утверждение | Нельзя указать ни одного подходящего примера | Что все возможные объекты проверены или рассмотрены общим рассуждением |
Сформулируем отрицание высказывания: «Существует натуральное число, большее 10 и меньшее 12». Речь идёт только о натуральных числах, поэтому это множество сохраняем. Отрицать нужно не одно из условий, а наличие числа, которое одновременно удовлетворяет обоим.
Ответ: не существует натурального числа, большего 10 и меньшего 12.
Найдём отрицание высказывания: «Найдётся целое число, квадрат которого равен 9». Множество целых чисел менять нельзя. Нас не просят искать другое условие: нужно отрицать именно существование целого числа с квадратом 9.
Ответ: не существует целого числа, квадрат которого равен 9.
Рассмотрим высказывание о натуральном числе, которое делится на 2 и на 3, но не делится на 6. Нужно отрицать всё сочетание условий сразу. Отрицание означает, что каждое натуральное число либо не делится на 2, либо не делится на 3, либо делится на 6.
Ответ: не существует натурального числа, которое делится на 2 и на 3, но не делится на 6. Равносильная форма: для любого натурального числа оно не делится на 2, или не делится на 3, или делится на 6.
Иногда меняют только слово «существует» на «не существует», но оставляют фразу без ясного смысла. Такая запись может быть грамматически неверной или не показывать, что именно отрицается. Проверьте себя вопросом: ясно ли сказано, что нет ни одного объекта, удовлетворяющего всему условию?
Другая ошибка — путать «не существует подходящего объекта» с «существует неподходящий объект». Наличие неподходящего объекта не мешает существованию подходящего. Чтобы проверить ответ, замените слова на смысл: говорится об отсутствии всех подходящих или только о наличии одного неподходящего?
Часто забывают указанное множество и делают вывод обо всех числах. Это меняет исходную задачу, ведь целые числа включают отрицательные и ноль, а натуральные рассматриваются отдельно. Проверьте, повторяется ли в отрицании слово «натуральный», «целый» или другое исходное ограничение.
При составном условии меняют только одну его часть, хотя нужно отвергнуть всё свойство. Например, из условия «делится на 2 и на 3, но не на 6» нельзя просто убрать последнюю часть. Перечитайте отрицание и убедитесь, что для каждого объекта нарушается хотя бы одна часть исходного сочетания.
До изучения темы нужно уметь отличать высказывания от отдельных слов или вопросов и определять, истинны они или ложны. Это необходимо, потому что отрицание связано именно с истинностью исходного высказывания. Если предложение не имеет значения «истина» или «ложь», отрицать его как высказывание нельзя.
Тема опирается на понимание множеств чисел и условий, которым удовлетворяют их элементы. Знание различий между натуральными, целыми и другими числами помогает не расширить и не сузить область поиска. Поэтому множество всегда проверяют до формулировки отрицания.
Отрицания нужны при доказательствах, проверке утверждений и изучении логических операций. Они помогают строго записывать невозможность, находить контрпримеры и рассуждать о каждом элементе множества. Позже такие приёмы пригодятся при работе с более сложными условиями.
Как понять, что высказывание является высказыванием о существовании?
Ищите слова «существует», «найдётся», «можно указать» или похожие выражения. Они сообщают, что требуется найти хотя бы один объект с нужным свойством.
Как правильно сформулировать отрицание высказывания о существовании?
Нужно сказать, что подходящего объекта не существует или что его невозможно найти среди заданного множества. Исходное условие при этом не должно потеряться: отрицается именно наличие объекта, который ему удовлетворяет.
Чем «не существует подходящего объекта» отличается от «существует неподходящий объект»?
Первое утверждение говорит, что подходящих объектов нет вообще. Второе сообщает только о наличии хотя бы одного неподходящего объекта и не мешает другим объектам быть подходящими.
Нужно ли при отрицании менять множество, о котором говорится?
Нет, множество сохраняется. Если исходное высказывание относится к натуральным числам, отрицание тоже рассматривает только натуральные числа.
Достаточно ли одного примера, чтобы подтвердить существование объекта?
Да, одного подходящего примера достаточно. Он доказывает, что объект с указанным свойством действительно существует.
3. Отрицание высказываний о существовании
