"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Общее высказывание сообщает свойство каждого объекта из некоторого множества: например, «все числа чётные». Его отрицание утверждает, что найден хотя бы один объект, который этим свойством не обладает. Такой объект называют контрпримером. Умение правильно отрицать высказывания помогает быстро опровергать неверные утверждения и отличать одно исключение от требования, чтобы свойство отсутствовало у всех объектов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Общее высказывание — утверждение о каждом объекте некоторого множества. Его можно узнать по словам «все», «каждый», «любое»: например, «каждое число из набора делится на 2». Такое высказывание нужно проверять сразу для всех объектов, а не только для нескольких выбранных.
Отрицание общего высказывания — утверждение, которое говорит, что исходное высказывание неверно. Для фразы «все объекты обладают свойством» отрицание означает: «существует хотя бы один объект, который этим свойством не обладает». Оно нужно, чтобы точно описать единственное исключение, способное разрушить общее утверждение.
Контрпример — объект, на котором общее утверждение оказывается неверным. Например, число 3 является контрпримером к утверждению «все натуральные числа больше 10». Контрпример нужен для опровержения: одного подходящего объекта достаточно, чтобы показать ложность высказывания.
Чтобы опровергнуть утверждение «все объекты обладают свойством», достаточно найти один объект без этого свойства. Причина в том, что слово «все» не допускает ни одного исключения: каждый объект обязан подходить под условие. Поэтому найденный объект сразу нарушает требование и делает исходное высказывание ложным.
Отрицание высказывания «все A обладают свойством B» формулируется так: «существует A, который не обладает свойством B». Слово «все» требует проверить каждый объект множества A, а слово «существует» требует найти хотя бы один объект из A. Например, отрицание фразы «все числа набора чётные» — «есть число из набора, которое не является чётным».
При отрицании рассматриваемый набор объектов не меняется. Если речь шла о треугольниках, нельзя вдруг перейти к четырёхугольникам, потому что новая фраза уже не будет отрицанием исходной. Меняется только утверждение о свойстве: вместо его наличия у каждого требуется отсутствие хотя бы у одного.
Общее высказывание и его отрицание имеют противоположные значения истинности. Например, утверждение «все числа 2, 4 и 6 делятся на 2» истинно, поэтому его отрицание «есть число из этого набора, которое не делится на 2» ложно. Если же взять набор 2, 3 и 6, исходное утверждение ложно, а отрицание истинно: число 3 служит контрпримером.
Нельзя просто заменить отдельное слово на противоположное и получить правильный смысл. Фраза «все числа не являются чётными» говорит, что чётных чисел нет вообще, а нужно лишь одно нечётное число. Поэтому при проверке спросите себя: принадлежит ли найденный объект исходному множеству и действительно ли он не обладает указанным свойством?
| Общее высказывание | Его отрицание | Что нужно для истинности отрицания |
|---|---|---|
| Все объекты множества обладают свойством | Существует объект множества, который не обладает свойством | Найти хотя бы один контрпример |
| Каждое число из набора делится на 2 | Есть число из набора, которое не делится на 2 | Указать одно нечётное число из набора |
| Все треугольники имеют заданное свойство | Существует треугольник, который не имеет заданного свойства | Привести треугольник, не обладающий этим свойством |
Сначала найдите в первом столбце слова «все» или «каждое», затем прочитайте отрицание во втором столбце. Для проверки третьего столбца достаточно предъявить один объект из исходного множества, который не подходит под условие. Если такой объект найден, отрицание истинно.
Нужно записать отрицание высказывания: «Все числа из множества {2, 4, 6} чётные». Здесь рассматриваются только три числа, поэтому искать контрпример можно лишь среди них. Требуется не доказывать новое утверждение, а точно изменить условие «все».
Ответ: «Существует число из множества {2, 4, 6}, которое не является чётным». Это отрицание ложно, потому что 2, 4 и 6 действительно чётные.
Нужно опровергнуть высказывание «Все натуральные числа больше 10». Чтобы опровергнуть общее утверждение, не требуется перечислять натуральные числа и проверять их по одному. Достаточно выбрать одно натуральное число, которое не больше 10.
Ответ: контрпример — 5. Одного примера достаточно, поскольку утверждение требовало выполнения свойства у каждого натурального числа.
Нужно записать отрицание высказывания «Каждый прямоугольник является квадратом» и определить его истинность. Объекты здесь — прямоугольники, а свойство — быть квадратом. Значит, искать нужно прямоугольник, у которого стороны не все равны.
Ответ: отрицание истинно: прямоугольник со сторонами 2 см и 5 см является контрпримером. Исходное высказывание ложно.
Ошибка 1. Отрицание записывают как «все объекты не обладают свойством». Так требуют отсутствия свойства у каждого, хотя достаточно одного исключения. Проверьте себя вопросом: оставляет ли ваша фраза возможность, что остальные объекты свойством обладают?
Ошибка 2. Для опровержения проверяют множество объектов или пытаются найти много примеров. Это происходит потому, что слово «все» ошибочно принимают за необходимость полного перебора. Найдите один объект, нарушающий условие, и остановитесь.
Ошибка 3. При отрицании меняют исходное множество: вместо чисел берут, например, фигуры. Такая фраза не отрицает исходное утверждение, потому что говорит уже о других объектах. Проверьте, принадлежит ли контрпример тому же набору.
Ошибка 4. Считают, что отрицание общего высказывания всегда истинно. Оно истинно только тогда, когда существует объект без указанного свойства. Если свойство есть у всех объектов, отрицание ложно.
До изучения темы нужно понимать, что такое высказывание и как определить его истинность или ложность. Общее высказывание является одним из видов высказываний, поэтому сначала полезно выделить его условие и множество объектов. Тогда отрицание можно составить без догадок.
Эти правила пригодятся при доказательствах и опровержениях математических утверждений. Контрпример часто позволяет быстро показать ошибочность догадки, а позже такие рассуждения связываются с логическими операциями и кванторами — словами «все» и «существует».
Как понять, что высказывание является общим?
В общем высказывании говорится обо всех объектах некоторого множества. Обычно на это указывают слова «все», «каждый» или «любое».
Как правильно записать отрицание слова «все»?
Слова «все обладают свойством» заменяют словами «существует хотя бы один, кто этим свойством не обладает». При этом множество объектов остаётся тем же.
Почему для опровержения общего высказывания достаточно одного примера?
Общее утверждение требует, чтобы свойство выполнялось у каждого объекта. Если найден хотя бы один объект без этого свойства, утверждение уже неверно.
Может ли отрицание общего высказывания быть ложным?
Да. Если свойством обладают все объекты множества, то объектов без этого свойства нет, поэтому отрицание ложно.
Чем контрпример отличается от обычного примера?
Обычный пример подтверждает утверждение на одном объекте. Контрпример, наоборот, показывает, что общее утверждение неверно.
2. Отрицание общих высказываний
