"Математика (в 3 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Общее высказывание говорит о каждом объекте некоторого множества: например, «все числа чётные». Его отрицание сообщает, что найдётся хотя бы один объект, для которого утверждение неверно. Чтобы опровергнуть общее высказывание, достаточно такого объекта — контрпримера. Умение правильно формулировать отрицания помогает отличать «не все» от «ни один», проверять истинность утверждений и рассуждать в задачах по математике.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Общее высказывание — утверждение о каждом объекте некоторого множества. Слова «все», «любой» и «каждый» обычно показывают, что речь идёт обо всех объектах, например: «Каждое натуральное число больше нуля». Это определение помогает сначала понять, к кому относится утверждение, а затем проверять его не наугад, а по правилу.
Отрицание высказывания — новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда исходное ложно. Если исходное утверждение верно, его отрицание неверно, и наоборот. Это определение нужно, чтобы не путать отрицание с просто другим утверждением: оно должно точно описывать случай, в котором исходное высказывание не выполняется.
Отрицание общего высказывания утверждает, что существует хотя бы один объект, для которого исходное общее утверждение неверно. Например, вместо «все фигуры обладают свойством» говорят: «найдётся фигура, которая этим свойством не обладает». Такой способ нужен потому, что для опровержения утверждения о каждом объекте не требуется проверять их все.
Контрпример — объект, на котором общее высказывание оказывается ложным; он подтверждает его отрицание. Если утверждается, что все числа чётные, то нечётное число будет контрпримером. Понятие помогает быстро опровергать общие утверждения и обязательно требует проверить, что найденный объект принадлежит нужному множеству.
Чтобы распознать общее высказывание, сначала определи множество объектов: например, натуральные числа, треугольники или предметы в задаче. Затем найди, что именно утверждается о каждом объекте, — это будет свойство, которое обозначим P. Такой порядок нужен, потому что слова «все» и «каждый» имеют смысл только вместе с указанным множеством и свойством. Если их не определить, можно случайно проверить не те объекты или не то условие.
Утверждение «все объекты обладают свойством» неверно, если найден хотя бы один объект без этого свойства. Поэтому его отрицание имеет вид «найдётся объект, который свойством не обладает». Для опровержения общего утверждения не нужно, чтобы условие нарушалось у большинства: одного исключения достаточно. Именно поэтому в отрицании появляется существование хотя бы одного объекта, а не утверждение обо всех объектах сразу.
Строя отрицание по смыслу, оставь то же множество и измени утверждение так, чтобы оно описывало хотя бы одно исключение. Например, если речь о треугольниках, нельзя перейти к четырёхугольникам; нужно найти треугольник, который не подходит под исходное условие. Такой подход связывает отрицание с тем, что именно делает исходное высказывание ложным. В результате отрицание охватывает все и только те случаи, в которых исходное утверждение не выполняется.
Отрицание фразы «все числа чётные» — «существует нечётное число», а не «все числа нечётные». Ведь исходное утверждение ложно уже тогда, когда нечётное только одно число; остальные числа могут быть чётными. Фраза «все числа нечётные» описывает гораздо более узкий случай и сама по себе не является отрицанием исходного утверждения. Правильное отрицание должно быть истинным при любой причине, из-за которой исходное высказывание ложно.
Проверить пару высказываний можно по их истинности: исходное утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными. Если исходное утверждение истинно, отрицание должно оказаться ложным; если оно ложно — отрицание истинно. Это помогает заметить ошибку в формулировке: например, между «все» и «ни один» возможен третий случай, когда свойством обладают некоторые объекты. Значит, такая замена не даёт верного отрицания.
| Общее высказывание | Его отрицание | Что достаточно для проверки |
|---|---|---|
| Все объекты множества обладают свойством P | Существует объект множества, который не обладает свойством P | Найти один контрпример |
| Каждое число из указанного множества удовлетворяет условию | Есть число из этого множества, которое условию не удовлетворяет | Проверить возможное исключение |
| Любой объект обладает свойством P | Не каждый объект обладает свойством P | Указать объект без свойства P |
Сначала найди в левом столбце множество и свойство, о котором говорится, затем сформулируй отрицание из среднего столбца. Правый столбец показывает, что для опровержения общего утверждения достаточно одного подходящего исключения. Убедись, что этот объект принадлежит указанному множеству.
Нужно заменить общее утверждение о каждом натуральном числе на утверждение о возможном исключении. Сохраняем множество натуральных чисел и ищем, какое число не удовлетворяло бы условию «больше нуля». Не следует писать, что все числа не больше нуля: это означало бы, что условию не удовлетворяет каждое число.
Ответ: Существует натуральное число, которое не больше нуля. В обычном определении натуральных чисел, начинающихся с 1, такого числа нет, поэтому исходное высказывание истинно, а его отрицание ложно.
Чтобы отрицать это утверждение, нужно не заявлять, что прямого угла нет у всех треугольников, а найти хотя бы один треугольник без прямого угла. Слово «каждый» указывает на общее высказывание, а множество здесь — все треугольники. В качестве контрпримера подойдёт равносторонний треугольник: все его углы равны 60°, поэтому прямого угла у него нет.
Ответ: «Существует треугольник, который не имеет прямого угла». Контрпример — любой равносторонний треугольник.
Здесь область рассмотрения явно задана: натуральные числа n. Отрицание должно утверждать, что есть натуральное число, для которого сумма n + 1 не чётная, то есть нечётная. Чтобы проверить истинность исходного утверждения, достаточно подставить подходящее натуральное число: если найдётся исключение, общее утверждение окажется ложным.
Ответ: Отрицание — «Существует натуральное n, для которого n + 1 нечётно». Исходное высказывание ложно, так как при n = 2 получается нечётное число 3; отрицание истинно.
Заменять «все» на «ни один» — неверно: между этими фразами возможна ситуация, когда свойством обладают некоторые объекты. Так ошибаются, потому что воспринимают отрицание как замену одного слова противоположным. Проверь себя: если хотя бы часть объектов может обладать свойством, фраза «ни один» не описывает все случаи, когда исходное утверждение ложно.
Менять только часть утверждения, но не указывать, что исключение существует, — значит не сказать, что исходное высказывание неверно хотя бы для одного объекта. Например, к фразе «все фигуры обладают свойством» нужно добавить: «найдётся фигура, которая им не обладает». Проверка проста: в отрицании должно быть ясно, что речь идёт хотя бы об одном объекте из множества.
Некоторые пытаются опровергнуть общее высказывание, проверяя много примеров, и забывают, что достаточно одного контрпримера. Так происходит, когда общее утверждение принимают за задачу на перебор всех вариантов. Найди один объект, который нарушает условие, и проверь его: если он подходит, высказывание уже опровергнуто.
Контрпример не опровергает утверждение, если он не принадлежит рассматриваемому множеству. Например, объект другого вида нельзя использовать против высказывания о треугольниках, даже если он не обладает нужным свойством. Такая ошибка возникает, когда замечают только само свойство и забывают область рассмотрения. Перед выводом проверь и принадлежность объекта множеству, и нарушение условия.
Для работы с отрицаниями нужно уметь отличать истинные высказывания от ложных и понимать, к каким объектам относится утверждение. Здесь помогают знания о множествах и принадлежности объекта множеству: без них нельзя выбрать правильный круг примеров и контрпримеров. В дальнейшем это умение понадобится, чтобы доказывать и опровергать утверждения, а также решать задачи на делимость и геометрические свойства. В таких задачах один найденный пример может показать, что общее правило неверно.
Как правильно отрицать высказывание со словом «все»?
Сохрани множество, о котором идёт речь, и скажи, что в нём найдётся хотя бы один объект, не обладающий названным свойством. Например: «Все числа чётные» отрицается так: «Существует число, которое не является чётным».
Чем «не все» отличается от «ни один»?
«Не все» означает, что есть хотя бы один объект без указанного свойства, но другие объекты могут им обладать. «Ни один» означает, что свойством не обладает ни один объект множества.
Достаточно ли одного примера, чтобы опровергнуть общее высказывание?
Да, если пример относится к тому множеству, о котором говорится в высказывании, и нарушает его условие. Такой пример называется контрпримером.
Как убедиться, что отрицание сформулировано верно?
Проверь, что исходное высказывание и отрицание не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными. Также убедись, что в отрицании названо хотя бы одно возможное исключение и сохранено исходное множество.
Почему при отрицании важно указать, о каком множестве идёт речь?
Отрицание относится к тем же объектам, что и исходное высказывание. Если изменить множество, ответ может стать неверным: контрпример должен принадлежать рассматриваемому множеству.
2. Отрицание общих высказываний
