1. Понятие отрицания

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, фраза «Число 8 чётное» является высказыванием: её можно проверить. Это понятие помогает отделить утверждения, которые можно оценить, от вопросов и просьб.

Истинное высказывание — высказывание, содержание которого соответствует действительности. Например, «Число 8 чётное» — истинное высказывание. Понимание этого термина нужно, чтобы отмечать утверждения, которые верно описывают факт или математическое правило.

Ложное высказывание — высказывание, содержание которого не соответствует действительности. Например, фраза «Число 8 больше 10» ложна, потому что 8 меньше 10. Это понятие помогает отличить ошибочное утверждение от вопроса, для которого вообще нельзя выбрать значение истинности.

Отрицание высказывания — новое высказывание, утверждающее, что исходное высказывание неверно; его обозначают ¬A или «не A». Если A — это «Число 8 чётное», то ¬A означает «Число 8 не является чётным». Обозначение позволяет коротко записывать связь исходного утверждения с тем, что его опровергает.

Как это устроено

Чтобы распознать высказывание, спросите себя: можно ли проверить его содержание и получить ответ «истина» или «ложь»? У вопроса, например «Число 8 чётное?», нет утверждения, которое можно признать истинным или ложным: он только просит ответ. Приказ «Реши пример» тоже не описывает факт, а побуждает к действию. А фраза «Число красивое» может зависеть от мнения, поэтому без точного смысла её истинность однозначно не установить.

У высказывания есть ровно одно из двух значений, потому что оно утверждает определённый факт, а факт либо соответствует действительности, либо нет. Одновременно истинным и ложным одно и то же высказывание быть не может. Если же неясно, что именно утверждается, то перед нами не высказывание в нужном смысле, а недостаточно определённая фраза. Например, для утверждения «x = 3» значение истинности можно установить, когда известно, чему равно x.

Отрицание строят так, чтобы оно сообщало: исходное утверждение неверно. Недостаточно механически поставить слово «не» рядом с любым словом — надо проверить, изменился ли смысл на противоположный. Например, отрицание «Все числа в примере чётные» — «Не все числа в примере чётные», а не обязательно «Все числа нечётные»: среди них могут быть и чётные, и нечётные. Значит, проверка смысла важнее внешнего вида фразы.

Исходное утверждение и его отрицание противоположны по истинности, потому что одно говорит, что факт имеет место, а другое — что он не имеет места. Если «Число 8 чётное» истинно, то утверждение «Число 8 не является чётным» ложно. Если исходное утверждение ложно, его отрицание, наоборот, истинно. Так два варианта охватывают все случаи и не могут оба оказаться истинными либо оба ложными.

В математике отрицание равенства обычно записывают знаком ≠: отрицание «x = 3» — «x ≠ 3». Для строгого сравнения нужно учитывать границу: «x > 5» означает, что x больше пяти, поэтому его отрицание — «x ≤ 5», то есть x меньше или равен пяти. Ровно так же отрицание «x < 5» — «x ≥ 5». Равенство на границе обязательно включают, иначе часть случаев останется без ответа.

Высказывание и его отрицание

Сначала прочитайте исходное высказывание и его отрицание, проверяя, что второе действительно опровергает первое. Затем определите истинность исходного утверждения: значение отрицания будет противоположным. В строках с переменной результат зависит от того, какое значение принято для x.

Разбор задач

Задача 1. Запишите отрицание высказывания: «Число 12 делится на 3». Нужно изменить не число, а смысл утверждения о делимости. Проверим ответ на конкретном числе: 12 делится на 3 без остатка, значит, исходное высказывание истинно. Поэтому его отрицание должно оказаться ложным.

1. Определяем исходное утверждение: число 12 делится на 3.
2. Формулируем противоположное: число 12 не делится на 3.
3. Проверяем: 12 : 3 = 4, поэтому исходное утверждение истинно, а отрицание ложно.

Ответ: «Число 12 не делится на 3»; исходное высказывание истинно, отрицание ложно.

Задача 2. Для x = 4 запишите отрицание высказывания «x = 4» и определите истинность обоих высказываний. Равенство утверждает, что переменная имеет ровно указанное значение. Чтобы сказать, что это неверно, достаточно заменить равенство на неравенство; затем подставим заданное значение.

1. Отрицание равенства «x = 4» — «x ≠ 4».
2. Подставляем x = 4 в исходное утверждение: 4 = 4, значит, оно истинно.
3. Проверяем отрицание: 4 ≠ 4 неверно, значит, оно ложно.

Ответ: отрицание — «x ≠ 4»; при x = 4 исходное высказывание истинно, а отрицание ложно.

Задача 3. Запишите отрицание высказывания «x > 7» и проверьте его при x = 7 и x = 9. При отрицании важно найти все значения, для которых исходное сравнение не выполняется. В частности, число 7 не больше 7, хотя оно и не меньше 7, поэтому одной записи «x < 7» недостаточно.

1. Исходное утверждение означает, что x строго больше 7.
2. Если оно неверно, x может быть меньше 7 или равен 7. Объединяем эти случаи: x ≤ 7.
3. При x = 7 запись x ≤ 7 истинна, а x > 7 ложно.
4. При x = 9 запись x ≤ 7 ложна, а x > 7 истинно.

Ответ: отрицание — «x ≤ 7»; при x = 7 оно истинно, при x = 9 ложно.

Типичные ошибки

Считать вопрос или приказ высказыванием — ошибка: у них нет значения «истина» или «ложь». Её допускают, потому что такие фразы тоже состоят из слов и могут содержать математические термины. Проверьте себя вопросом: предложение что-то утверждает или только спрашивает, просит, приказывает?

Механически добавлять частицу «не» недостаточно: получившаяся фраза может не быть точным отрицанием. Например, утверждение «Все числа чётные» опровергает фраза «Не все числа чётные», а не обязательно «Все числа нечётные». Чтобы проверить ответ, найдите пример, при котором исходная фраза ложна, и убедитесь, что отрицание истинно.

Запись «x < 7» не является отрицанием «x > 7», потому что она не охватывает случай x = 7. Эту ошибку допускают, когда забывают проверить значение на границе. Подставьте в обе фразы число 7: исходное утверждение ложно, поэтому его отрицание должно быть истинным; верная запись — x ≤ 7.

Отрицание не всегда ложно: его истинность зависит от исходного высказывания. Ошибка возникает, если слово «отрицание» воспринимают как указание на ложь само по себе. Для проверки сначала определите истинность исходного утверждения: если оно истинно, отрицание ложно, а если ложно — отрицание истинно.

Связь с другими темами

Чтобы работать с отрицаниями, нужно уметь отличать математические утверждения от вопросов и просьб, а также понимать знаки равенства и неравенства. Тогда можно точно определить, что именно утверждает запись, и какие значения ей подходят. Особенно важно замечать разницу между строгим сравнением и случаем, когда граница тоже включена.

Отрицания пригодятся при решении уравнений и неравенств: они помогают записывать условие, которому значение не удовлетворяет. Также они нужны при проверке рассуждений и доказательств, когда требуется понять, верно ли утверждение или достаточно привести случай, который его опровергает. Умение строить точное отрицание делает математические объяснения яснее.

Что запомнить

• Высказывание можно оценить как истинное или ложное.
• Отрицание высказывания утверждает, что исходное высказывание неверно.
• У высказывания и его отрицания противоположные значения истинности.
• Отрицание истинного высказывания ложно, а ложного — истинно.
• Отрицание «x > a» — это «x ≤ a».
• Отрицание «x = a» — это «x ≠ a».