§ 1. Отрицание высказываний

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Сумма чисел 4 и 5 равна 9» — высказывание: его можно проверить. Вопрос «Который час?» и команда «Открой тетрадь» высказываниями не являются, потому что не утверждают факт.

Истинное высказывание соответствует действительности. Например, «Число 8 чётное» истинно: 8 делится на 2 без остатка. Истинность можно проверить вычислением или наблюдением, поэтому это не просто чьё-то мнение.

Ложное высказывание не соответствует действительности. Например, «Число 7 больше 10» ложно, потому что 7 меньше 10. Оно всё равно остаётся высказыванием: для него можно определить значение истинности, только это значение — ложь.

Отрицание высказывания — новое высказывание, которое утверждает, что исходное неверно. Если исходное высказывание истинно, его отрицание ложно, а если исходное ложно — отрицание истинно. Это позволяет точно выразить противоположное утверждение и проверить его.

Как это устроено

Чтобы понять, является ли предложение высказыванием, спроси себя: можно ли установить, верно оно или нет? Если можно, перед нами высказывание, даже если его значение пока неизвестно. Вопрос не сообщает, как обстоят дела, а команда предлагает что-то сделать, поэтому ни тому ни другому нельзя приписать истинность или ложность.

Отрицание меняет значение истинности на противоположное, потому что оно отрицает именно то, что утверждалось. Если число 8 чётное — это верно, то фраза «Число 8 не чётное» неверна. Если утверждение «Число 7 больше 10» неверно, то слова «Число 7 не больше 10» верны. У исходного высказывания и отрицания не бывает одинакового значения истинности.

Простое отрицание можно построить с помощью слов «неверно, что…»: «Неверно, что число 8 нечётное». Можно также использовать частицу «не», если она точно меняет смысл: «Число 8 не нечётное». При этом надо сохранить предмет и условие утверждения, иначе получится уже другое высказывание, а не его отрицание.

Для числового утверждения удобно отрицать признак: отрицанием слов «число делится на 3» будет «число не делится на 3». Например, 12 делится на 3, поэтому для числа 12 исходное утверждение истинно, а отрицание ложно. Число 14 на 3 не делится, поэтому для него исходное утверждение ложно, а отрицание истинно.

Отрицание проверяют на примерах, где исходное утверждение верно, и на примерах, где оно неверно. Например, для утверждения «Число 12 делится на 3» отрицание должно быть ложным при проверке числа 12 и истинным при проверке числа 14. Если выходит иначе, значит, отрицание составлено неправильно. Для утверждения о всех элементах особенно полезно проверить, не пропущен ли случай, который опровергает общее правило.

Высказывание и его отрицание

В первых двух столбцах записаны утверждения и их отрицания, а в последних показано общее правило: их значения истинности противоположны. Для числа 8 первое утверждение действительно истинно, поэтому его отрицание ложно. Для числа 7 утверждение о том, что оно больше 10, ложно, а отрицание истинно.

Разбор задач

Какие предложения являются высказываниями?

Условие: определите, какие предложения являются высказываниями: «Сумма чисел 4 и 5 равна 9», «Какое сегодня число?», «Откройте учебник». Нужно выяснить, можно ли для каждого предложения установить истинность или ложность. Неважно, является ли предложение верным: важно, что его можно проверить.

1. В предложении о сумме утверждается, что 4 + 5 = 9. Это можно проверить вычислением, и равенство верно, поэтому предложение является истинным высказыванием.
2. «Какое сегодня число?» — вопрос, а не утверждение. На него можно ответить, но сам вопрос не бывает истинным или ложным.
3. «Откройте учебник» — команда, которая побуждает к действию. Проверить её как истинную или ложную нельзя.

Ответ: высказыванием является только «Сумма чисел 4 и 5 равна 9»; оно истинно. Вопрос и команда высказываниями не являются. Проверка устроена так: на утверждение можно ответить «верно» или «неверно», а на вопрос и побуждение — нельзя.

Запишите отрицания и определите истинность

Условие: запишите отрицания высказываний «Число 12 делится на 3» и «Число 15 меньше 10». Затем определите истинность исходных утверждений и отрицаний. Сначала проверим сами числа, а после изменим смысл каждого утверждения на противоположный.

1. 12 делится на 3, потому что 12 : 3 = 4. Значит, исходное высказывание истинно; его отрицание «Число 12 не делится на 3» ложно.
2. 15 меньше 10 — неверное утверждение, поскольку 15 больше 10. Поэтому исходное высказывание ложно, а отрицание «Число 15 не меньше 10» истинно.

Ответ: отрицания — «Число 12 не делится на 3» и «Число 15 не меньше 10». Первое исходное высказывание истинно, его отрицание ложно; второе исходное высказывание ложно, его отрицание истинно. Так можно проверить, что в каждой паре значения противоположны.

Найдите отрицание утверждения о наборе чисел

Условие: для высказывания «Каждое число из набора 2, 4, 6 делится на 2» запишите отрицание и проверьте его истинность. Слово «каждое» означает, что правило должно подходить сразу ко всем числам набора. Значит, для отрицания достаточно обнаружить хотя бы одно число, для которого правило не выполняется.

1. Проверим числа: 2 : 2 = 1, 4 : 2 = 2, 6 : 2 = 3. Все три числа делятся на 2, поэтому исходное высказывание истинно.
2. Отрицание утверждения обо всех числах звучит так: «Хотя бы одно число из набора 2, 4, 6 не делится на 2». В наборе такого числа нет, поэтому отрицание ложно.
3. Если бы отрицание оказалось истинным, число, которое не делится на 2, стало бы контрпримером. Здесь контрпримера нет, поскольку каждое из трёх чисел делится на 2.

Ответ: отрицание — «Хотя бы одно число из набора 2, 4, 6 не делится на 2»; оно ложно. Все числа набора подходят под исходное правило, и ни одно не подтверждает отрицание. В другом наборе для опровержения общего утверждения было бы достаточно найти один неподходящий элемент.

Типичные ошибки

• Считать вопрос или команду высказыванием — ошибка: нельзя установить, истинны ли слова «Который час?» или «Закрой дверь». Так думают, потому что и вопрос, и команда тоже являются предложениями. Проверь себя: если нельзя ответить о предложении «верно» или «неверно», это не высказывание.

• Считать любое предложение с частицей «не» правильным отрицанием нельзя. Например, добавление «не» может изменить только часть смысла или создать другую фразу. Ошибка возникает, когда ориентируются на одно слово, а не на смысл целиком. Проверь на примере: при истинном исходном утверждении его отрицание должно быть ложным, и наоборот.

• Отрицание ложного высказывания тоже считать ложным неверно: у отрицания всегда противоположное значение истинности. Путаница возникает, если воспринимать отрицание как повторение исходной оценки. Чтобы проверить себя, сначала установи истинность исходного предложения, а затем поменяй её на противоположную.

• Проверить несколько чисел и решить, что правило обо всех числах доказано, — недостаточно. Примеры, которые подошли, не исключают существования другого числа, которое не подходит. Для опровержения утверждения обо всех объектах ищи контрпример; для доказательства одного неудачного поиска мало, нужно проверить все рассматриваемые случаи или привести обоснование.

Связь с другими темами

Для работы с отрицанием нужно понимать смысл предложений и уметь проверять простые утверждения о числах и действиях. Например, сначала полезно знать, делится ли число на другое без остатка, и сравнивать числа. Затем отрицание помогает точнее формулировать выводы при доказательствах и опровержениях.

Контрпример особенно полезен, когда проверяется правило, которое должно выполняться для всех объектов: один неподходящий объект опровергает такое правило. Позже отрицание встретится среди логических операций — способов строить новые высказывания из уже известных. Умение различать истинность исходного предложения и его отрицания помогает не путать смысл этих рассуждений.

Что запомнить

• Высказывание имеет одно из двух значений: истинно или ложно.
• Вопросы и команды не являются высказываниями.
• Отрицание утверждает, что исходное высказывание неверно.
• Если исходное высказывание истинно, его отрицание ложно.
• Если исходное высказывание ложно, его отрицание истинно.
• Контрпример опровергает утверждение, которое должно выполняться для всех рассматриваемых объектов.