§ 1. Отрицание высказываний

Определения и обозначения

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, фраза «Число 8 чётное» сообщает факт, который можно проверить. Это понятие нужно, чтобы отличать утверждения от вопросов, просьб и команд: у них нельзя определить истинность.

Истинность высказывания — значение «истина» или «ложь», которое принимает высказывание. Например, утверждение «8 — чётное число» истинно, а «8 — нечётное число» ложно. Определение истинности помогает понять, каким должно быть отрицание и правильно ли оно составлено.

Отрицание высказывания — новое высказывание, которое утверждает, что исходное высказывание неверно. Если исходное утверждение гласит, что число 8 чётное, его отрицание говорит, что число 8 не чётное. Отрицание нужно, когда требуется выразить противоположное исходному утверждению и проверить, какие случаи оно охватывает.

Обозначение отрицания — запись ¬A или словесная форма «неверно, что A», где A — исходное высказывание. Например, если A означает «число 8 чётное», то ¬A читают «неверно, что число 8 чётное». Буквенная запись удобна, когда высказывание длинное: она показывает, какое именно утверждение отрицается.

Как это устроено

Отрицание имеет противоположную истинность, потому что оно утверждает, что исходное высказывание неверно. Если утверждение верно, сказать о нём «неверно» нельзя, поэтому отрицание будет ложным. Если же исходное утверждение ложно, сообщение о его неверности окажется истинным. Так для любой пары A и ¬A одно высказывание истинно, а другое ложно.

Отрицание нужно строить по смыслу, а не механически добавлять частицу «не». Частица может попасть только к одному слову и изменить смысл не так, как требуется: например, в сложной фразе останется неясным, что именно отрицается. Поэтому полезно мысленно поставить перед всем исходным утверждением слова «неверно, что». Затем нужно переформулировать эту мысль коротко и точно.

Для числовых условий отрицание должно включать все значения, при которых исходное условие не выполняется. Если сказано x > 3, то x может оказаться меньше 3 или равным 3; значит, отрицание — x ≤ 3. Запись x < 3 не подходит, потому что при x = 3 исходное условие ложно, но предложенное отрицание тоже ложно. Граница должна войти в одно из двух противоположных условий.

Проверить отрицание можно по двум правилам: исходное утверждение и его отрицание не бывают истинны одновременно и не бывают ложны одновременно. Это следует из того, что отрицание сообщает именно о неверности исходного утверждения. Если нашёлся случай, когда оба высказывания истинны, значит, формулировка не является точным отрицанием. Если оба ложны — она тоже не охватывает все нужные случаи.

Фраза «неверно, что…» полезна, когда утверждение длинное или состоит из нескольких условий. Она ясно показывает, что отрицается всё предложение, а не отдельное слово или его часть. Например, для «n делится на 2 и на 3» важно отрицать сочетание двух условий целиком. Тогда достаточно, чтобы не выполнялось хотя бы одно условие: число может не делиться на 2 или не делиться на 3.

Истинность высказывания и его отрицания

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи истинность исходного высказывания. Затем найди в этой строке значение отрицания: оно всегда противоположно. Таблица помогает проверить ответ, но сама по себе не подсказывает точную словесную формулировку отрицания.

Разбор задач

Задача 1. Дано высказывание: «Число 8 чётное». Составим его отрицание и определим истинность обоих высказываний. Нужно выразить, что исходное утверждение неверно, не меняя его смысл. Затем проверим чётность числа 8.

1. Исходное A: «Число 8 чётное».
2. Отрицаем утверждение целиком: ¬A — «Число 8 не является чётным».
3. Число 8 делится на 2 без остатка, поэтому A истинно. Значит, ¬A ложно.

Ответ: отрицание — «Число 8 не является чётным»; исходное высказывание истинно, отрицание ложно. Такой способ проверки подходит и для других утверждений о конкретных числах. Сначала устанавливают факт, а потом назначают отрицанию противоположную истинность.

Задача 2. Запишем отрицание высказывания «Число x больше 5» и проверим его при x = 4 и x = 7. Здесь исходное условие задаёт все числа, строго большие пяти. Нужно понять, что происходит с числом, равным пяти, и с числами по обе стороны от границы.

1. Обозначим исходное условие: x > 5.
2. Все числа, для которых оно неверно, удовлетворяют условию x ≤ 5. Равенство включаем, потому что 5 не больше самого себя.
3. При x = 4 условие x ≤ 5 истинно, а исходное x > 5 ложно. При x = 7 условие x ≤ 5 ложно, а исходное истинно.

Ответ: отрицание — x ≤ 5; при x = 4 оно истинно, при x = 7 — ложно. Проверка на числе 5 тоже полезна: отрицание истинно, а исходное неравенство ложно. Именно такой граничный случай помогает заметить, если равенство случайно пропущено.

Задача 3. Составим отрицание высказывания «Число n делится на 2 и на 3» и объясним, почему фраза «n не делится на 2 и на 3» может быть неверной. Исходное утверждение содержит сразу два условия, соединённые словом «и». Чтобы оно было истинным, должны выполняться оба условия одновременно.

1. Обозначим условия: n делится на 2 и n делится на 3.
2. Отрицаем всё высказывание: неверно, что n делится на 2 и на 3.
3. Это означает: n не делится на 2 или n не делится на 3. Достаточно невыполнения хотя бы одного условия.

Ответ: отрицание — «n не делится на 2 или n не делится на 3». Фраза «n не делится на 2 и на 3» может означать, что число не делится ни на 2, ни на 3, то есть не выполняются оба условия. Например, 6 делится и на 2, и на 3, поэтому исходное утверждение истинно; а 8 делится на 2, но не делится на 3, поэтому исходное ложно и его отрицание истинно. Этот пример показывает, почему нельзя просто добавить «не» и оставить связку без проверки смысла.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что отрицание всегда получается простым добавлением «не». Так делают, потому что это кажется быстрым способом сказать противоположное, но в длинной фразе частица может изменить только часть смысла. Проверь себя: поставь перед исходным утверждением «неверно, что» и сравни полученную мысль с ответом. Если смыслы различаются, отрицание записано неточно.

Вторая ошибка — записать отрицание x > a как x < a и забыть про равенство. Так бывает, когда ученик меняет только направление знака и не проверяет число a. Подставь x = a: исходное неравенство ложно, значит, его отрицание должно быть истинным. Поэтому верное отрицание — x ≤ a.

Третья ошибка — допускать, что высказывание и его отрицание могут быть одновременно истинными или одновременно ложными. Путаница появляется, если отрицание составлено неточно или истинность проверена не для одного и того же случая. Для самопроверки рассмотрите конкретный пример: одно из двух утверждений должно быть истинным, а другое ложным. Если получилось иначе, исправьте формулировку.

Четвёртая ошибка — отрицать только часть составного утверждения. Ученик может заметить два условия, но забыть, что исходная фраза сообщает об их совместном выполнении. Разберите предложение на условия и уточните, что требуется для истинности всего утверждения. Если условия соединены словом «и», для отрицания достаточно, чтобы не выполнилось хотя бы одно из них.

Связь с другими темами

Чтобы работать с отрицаниями, сначала нужно уметь отличать высказывания от вопросов и команд и определять истинность простых утверждений. Для отрицаний неравенств пригодятся сравнение чисел и понимание знаков >, <, ≥ и ≤. Позже отрицание будет использоваться вместе с другими логическими действиями, при работе с множествами и при записи условий задач. Точное отрицание помогает перечислить все случаи, которые не подходят под исходное условие.

Что запомнить

• Отрицание высказывания тоже является высказыванием.
• Отрицание истинного высказывания ложно.
• Отрицание ложного высказывания истинно.
• Высказывание и его отрицание не могут иметь одинаковую истинность.
• Отрицание x > a — x ≤ a.
• Отрицание x < a — x ≥ a.