1. Понятие отрицания

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Например, фразу «Число 8 чётное» можно проверить, поэтому это высказывание. Вопрос «Который час?» и побуждение «Открой тетрадь!» высказываниями не являются: они не утверждают факт, который можно признать истинным или ложным. Это определение помогает сначала понять, можно ли вообще строить отрицание.

Отрицание высказывания — новое высказывание, которое утверждает, что исходное неверно. Его можно выразить словами «неверно, что…» или, если фраза этого требует, словом «не». Например, отрицание фразы «Число 8 чётное» — «Число 8 не является чётным». Такая запись нужна, чтобы точно сказать, что исходное утверждение не соответствует действительности.

Знак отрицания — символ ¬, который ставят перед обозначением высказывания, чтобы записать его отрицание: ¬A. Здесь A — исходное высказывание, а ¬A читают как «не A» или «неверно, что A». Знак удобен в коротких математических записях и рассуждениях. Он относится ко всему высказыванию A, а не только к ближайшему слову.

Как это устроено

Чтобы отличить высказывание от обычного предложения, спроси себя: можно ли проверить, верно ли оно? У фразы «Снег белый» есть значение истинности, потому что её можно сопоставить с фактами. У вопроса «Белый ли снег?» такого значения нет: вопрос не утверждает ни одного ответа. Поэтому проверка на истинность помогает решить, применимо ли к предложению понятие отрицания.

Чтобы построить отрицание, сохрани предмет и содержание исходного утверждения, но сообщи, что оно неверно. Например, речь по-прежнему идёт о числе 8, а отрицание сообщает, что оно не чётное. Это важно, потому что новая фраза должна опровергать именно исходное утверждение, а не рассказывать о другом предмете или свойстве. Иногда для ясности удобнее начать со слов «неверно, что…».

Значения истинности исходной фразы и её отрицания противоположны. Если утверждение верно, то фраза «неверно, что оно верно» оказывается ложной; если исходное утверждение ложно, отрицание сообщает правду. По этой причине отрицание не выбирают наугад: его истинность связана с истинностью исходного высказывания. Например, если число 8 чётное, фраза «число 8 нечётное» ложна.

Проверить правильность отрицания можно двумя вопросами: могут ли обе фразы оказаться истинными одновременно и могут ли обе оказаться ложными одновременно? Для высказывания и его верного отрицания ответ в обоих случаях — нет. Если найден случай, когда обе фразы истинны или обе ложны, значит, отрицание составлено неправильно либо смысл фраз изменился. Такая проверка особенно полезна для длинных утверждений.

Просто заменить слово на противоположное часто недостаточно, потому что исходная фраза может сообщать больше, чем один признак. Например, утверждение «число больше 5 и меньше 10» состоит сразу из двух условий. Если заменить только слово «больше» на «меньше», получится новое утверждение, а не отрицание исходного. Нужно отрицать всю фразу, чтобы охватить каждый её смысловой элемент.

Высказывание и его отрицание

Найди в строке исходную фразу и её отрицание, а затем смотри на значение истинности A. Если A истинно, отрицание ложно; если A ложно, отрицание истинно. Таблица показывает правило, а не утверждает, что исходные фразы истинны или ложны в каждом конкретном случае.

Разбор задач

Число 12 делится на 3

Условие. Для высказывания «Число 12 делится на 3» сформулировать отрицание и определить истинность обоих высказываний. Сначала оставим тот же предмет — число 12 — и изменим именно утверждение о делимости. Затем проверим деление: 12 : 3 = 4, остатка нет. Так мы выясним значение истинности исходной фразы, а значение отрицания будет противоположным.

1. Записываем исходное высказывание: «Число 12 делится на 3».
2. Отрицаем его целиком: «Число 12 не делится на 3».
3. Проверяем деление: 12 : 3 = 4, значит, исходное высказывание истинно, а отрицание ложно.

Ответ. Отрицание: «Число 12 не делится на 3». Исходное высказывание истинно, отрицание ложно. Если деление выполняется без остатка, утверждать обратное нельзя.

Все ученики выполнили задание

Условие. Сформулировать отрицание фразы «Все ученики выполнили задание» и объяснить, когда оно истинно. Слово «все» означает, что утверждение относится к каждому ученику без исключения. Чтобы оно стало неверным, не нужно, чтобы задание не выполнил весь класс: достаточно одного исключения. Поэтому в отрицании важно указать хотя бы одного ученика.

1. Выделяем исходное утверждение: каждый ученик выполнил задание.
2. Формулируем отрицание: «Хотя бы один ученик не выполнил задание».
3. Проверяем ситуацию: если найдётся хотя бы один такой ученик, отрицание истинно; если все выполнили, оно ложно.

Ответ. Отрицание — «Хотя бы один ученик не выполнил задание». Оно истинно, когда есть хотя бы один ученик, который не выполнил задание. Если такой ученик не найден и действительно выполнили все, отрицание ложно.

Число n больше 5 и меньше 10

Условие. Записать отрицание высказывания «Число n больше 5 и меньше 10», затем проверить его при n = 7 и n = 12. Исходное утверждение требует одновременного выполнения двух условий: n > 5 и n < 10. Оно неверно, если не выполнено хотя бы одно из них. Поэтому отрицание звучит так: «Число n не больше 5 или не меньше 10».

1. Записываем исходную фразу: n больше 5 и меньше 10.
2. Строим отрицание всей фразы: n не больше 5 или n не меньше 10.
3. При n = 7 исходная фраза истинна, поскольку 7 > 5 и 7 < 10; отрицание ложно.
4. При n = 12 исходная фраза ложна, поскольку 12 не меньше 10; отрицание истинно.

Ответ. Отрицание: «n не больше 5 или n не меньше 10». При n = 7 оно ложно, а при n = 12 истинно. Проверка двух значений показывает, что отрицание охватывает оба условия исходной фразы.

Типичные ошибки

Ошибка — считать вопрос или команду высказыванием. Так происходит, когда любое предложение принимают за утверждение, хотя вопрос ничего не утверждает, а команда побуждает к действию. Проверка простая: можно ли установить, истинно предложение или ложно? Если нет, перед нами не высказывание.

Ошибка — подбирать только слово с противоположным смыслом. Такая замена может изменить отдельный признак, но не опровергнуть всё сообщение; обычно её допускают, не проверив смысл предложения целиком. Спроси себя, сообщает ли новая фраза именно «исходное утверждение неверно». Например, отрицание «число больше 5 и меньше 10» должно затрагивать оба условия.

Ошибка — отрицать «Все ученики выполнили задание» фразой «Все ученики не выполнили задание». Это слишком сильное утверждение: исходной фразе достаточно одного ученика, который не выполнил задание, чтобы оказаться ложной. Проверяй, требует ли твоя формулировка лишнего. Верный вариант: «Хотя бы один ученик не выполнил задание».

Ошибка — думать, что высказывание и его отрицание могут быть одновременно истинными или одновременно ложными. Это происходит, если забыть, что отрицание должно сообщать ровно о неверности исходной фразы. Проверь пару по фактам: при истинном исходном утверждении отрицание ложно, а при ложном — истинно. Если значения совпали, формулировку нужно пересмотреть.

Связь с другими темами

Для работы с отрицанием нужно уметь различать истинные и ложные утверждения, а также понимать слова «все» и «некоторые». Например, «все решили» и «некоторые решили» сообщают разное, поэтому отрицаются по-разному. Это помогает точнее читать условия задач и проверять, достаточно ли найденного примера, чтобы опровергнуть общее утверждение.

Отрицание пригодится при изучении логических операций — способов соединять и изменять высказывания. Оно также используется в рассуждениях и доказательствах: иногда проще показать, что противоположное утверждение приводит к неверному результату. Умение правильно отрицать фразы помогает не подменять исходную мысль и последовательно проверять выводы.

Что запомнить

• Высказывание можно оценить как истинное или ложное.
• Отрицание высказывания утверждает, что исходное высказывание неверно.
• Отрицание A обозначают ¬A.
• Если A истинно, то ¬A ложно.
• Если A ложно, то ¬A истинно.
• Отрицание должно относиться ко всему исходному утверждению.