§ 2. Переменная

Определения и обозначения

Переменная — это буква, которой обозначают число, значение которого может меняться. Например, в записи x + 4 буква x может обозначать разные числа, а число 4 остаётся неизменным. Переменная нужна, чтобы записывать правило, подходящее для многих значений, а не только для одного числа.

Значение переменной — это число, которое подставляют вместо буквы. Запись x = 3 означает, что в данный момент переменная x имеет значение 3. Такая запись задаёт конкретный случай: теперь вместо x в выражении можно использовать число 3 и выполнить вычисления.

Выражение с переменной — это запись, в которой есть переменная и знаки действий, например 2a + 5. В отличие от числового выражения, в нём пока не всегда можно получить одно готовое число. Оно нужно, чтобы показать, как результат зависит от выбранного значения переменной.

Значение выражения с переменной — число, которое получается после подстановки значения переменной и выполнения действий. Например, если в x + 4 подставить x = 3, получится 3 + 4 = 7. Это число позволяет узнать результат для конкретного значения переменной.

Как это устроено

Буквы используют потому, что одно и то же правило часто подходит для разных чисел. Если записать, например, x + 7, не придётся отдельно описывать, что нужно сделать с числами 1, 2, 3 и другими: к каждому из них прибавляют 7. Так можно коротко задавать общий способ вычисления. Кроме того, буквы помогают описывать ситуации, где одна величина меняется вместе с другой.

Чтобы подставить число вместо переменной, заменяют букву этим числом в каждом месте выражения. Все действия и скобки сохраняют: например, при a = 4 выражение 3a − 2 превращается в 3 · 4 − 2. Запись 3a означает умножение числа 3 на a, даже если знак умножения не написан. Если буква встречается несколько раз, заменить нужно каждое её вхождение, иначе получится уже другое выражение.

После подстановки остаётся числовое выражение, и его вычисляют по обычным правилам порядка действий. Сначала выполняют действия в скобках, потому что скобки указывают, какую часть нужно рассмотреть как целое. Затем выполняют умножение и деление, а после них — сложение и вычитание; если действия одного порядка стоят рядом, их выполняют слева направо. Поэтому нельзя вычислять любую запись просто по порядку слева направо.

Одно выражение может давать разные результаты, потому что меняется число, подставленное вместо переменной. Например, для x + 7 при x = 1 значение равно 8, а при x = 5 — 12. Само правило осталось прежним: к значению x прибавляют 7. Сравнение таких результатов помогает увидеть зависимость значения выражения от переменной.

Не каждое число можно подставить: иногда при определённом значении действие невозможно. Например, выражение 10 : x не имеет значения при x = 0, потому что делить на ноль нельзя. Поэтому, если переменная стоит в знаменателе или служит делителем, сначала проверяют, не станет ли делитель нулём. Для выражения (m + 6) : m допустимы значения m, отличные от нуля.

Переменная и выражение с переменной

Сначала определите, какая буква является переменной и какое число ей задано. Затем найдите выражение и замените букву указанным числом. Последняя строка показывает результат вычисления для конкретной подстановки.

Разбор задач

Задача 1. Найти значение выражения x + 7 при x = 5. Здесь переменная встречается один раз, а действие — сложение. Значит, нужно заменить x числом 5 и найти сумму.

1. Подставляем значение: x + 7 = 5 + 7.
2. Складываем числа: 5 + 7 = 12.

Ответ: 12. Проверить себя можно так: число 5 заменило букву x, а знак сложения и число 7 остались на месте. Полученный результат — значение исходного выражения при x = 5.

Задача 2. Найти значение выражения 3a − 2 при a = 4. Буква a обозначает число 4, поэтому выражение превращается в числовое. Сначала нужно учесть, что 3a означает произведение 3 и a, и выполнить умножение до вычитания.

1. Заменяем a числом 4: 3a − 2 = 3 · 4 − 2.
2. Выполняем умножение: 3 · 4 = 12, получаем 12 − 2.
3. Вычитаем: 12 − 2 = 10.

Ответ: 10. Если бы сначала вычесть 2 из 4, порядок действий оказался бы нарушен. Умножение выполняется раньше вычитания, поэтому результат получен именно так.

Задача 3. Найти значение выражения (m + 6) : m при m = 3 и объяснить, можно ли подставить m = 0. Скобки показывают, что сначала складывают m и 6, а затем делят полученную сумму на m. Отдельно проверим нулевое значение: оно сделало бы делитель равным нулю.

1. Подставляем m = 3: (m + 6) : m = (3 + 6) : 3.
2. Сначала вычисляем в скобках: 3 + 6 = 9, получаем 9 : 3.
3. Выполняем деление: 9 : 3 = 3. Если подставить m = 0, получится (0 + 6) : 0, а деление на ноль невозможно.

Ответ: при m = 3 значение выражения равно 3; m = 0 подставлять нельзя. При проверке сначала убедитесь, что скобки раскрыты вычислением, а затем проверьте делитель. Именно он показывает, допустима ли подстановка.

Типичные ошибки

• При подстановке числа заменяют не все вхождения переменной. Такое случается, когда буква встречается в выражении несколько раз и одно место легко пропустить. Проверьте запись по буквам: в итоговом числовом выражении не должно остаться ни одного вхождения той переменной, значение которой задано.

• После подстановки действия выполняют просто слева направо, не учитывая их порядок. Причина — привычка читать выражение как последовательность команд, хотя умножение и деление имеют преимущество перед сложением и вычитанием. Для проверки отметьте скобки, затем умножение и деление, и только потом сложение и вычитание.

• Считают, что буква всегда обозначает одно заранее известное число. Это заблуждение возникает потому, что в задаче часто сразу указано, чему равна переменная. Если значение специально не задано, буква может принимать разные значения; проверьте условие и не приписывайте переменной число без основания.

• Подставляют значение, при котором выражение не имеет смысла, например делитель становится равен нулю. Иногда внимание сосредоточено на вычислении, и проверка допустимости числа пропускается. До вычислений найдите делители с переменной и убедитесь, что ни один из них не равен нулю.

Связь с другими темами

Для работы с переменными нужно уметь читать числовые выражения и выполнять действия с натуральными числами, дробями и скобками. После подстановки буквы вычисления сводятся к этим знакомым действиям. Если порядок действий или вычисления дробей пока вызывают трудности, полезно сначала повторить соответствующие правила.

Переменные используют в формулах, уравнениях и при описании зависимостей между величинами. Формула помогает записать общее правило, уравнение — найти неизвестное значение, а выражение с переменной — показать, как результат меняется при разных числах. Поэтому умение подставлять значения и вычислять выражения пригодится в следующих темах математики.

Что запомнить

• Переменную обозначают буквой.
• Значение переменной задают числом.
• Значение выражения с переменной зависит от подставленного числа.
• При подстановке заменяют переменную во всех её вхождениях.
• После подстановки выполняют действия по установленному порядку.
• Нельзя подставлять значение, при котором выражение не определено.