"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Кванторы помогают точно сказать, относится ли свойство ко всем объектам или хотя бы к одному. Чтобы отрицать утверждение с квантором, нужно заменить «для всех» на «существует» или наоборот и одновременно заменить свойство на противоположное. Это правило позволяет правильно опровергать математические высказывания, находить контрпримеры и не путать «не всегда верно» с «всегда неверно».
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Утверждение с квантором общности — высказывание о том, что некоторое свойство выполняется для каждого объекта из указанного множества. Например, фраза «все квадраты имеют четыре стороны» относится к каждому квадрату, а не только к нескольким выбранным. Такое утверждение удобно, когда нужно описать общее правило. Если найдётся хотя бы один объект без этого свойства, утверждение окажется неверным.
Квантор общности — слова «для любого» или «для всех»; в математической записи ему соответствует знак ∀. Например, запись «для всех x верно P(x)» означает, что свойство P выполняется при каждом допустимом значении x. Буква x здесь обозначает объект, а P(x) — свойство этого объекта. Квантор помогает коротко и точно указать, о скольких объектах говорится.
Утверждение с квантором существования — высказывание о том, что в множестве найдётся хотя бы один объект с указанным свойством. Например, среди чисел 2, 4, 7 существует чётное число, потому что таким объектом может быть 2. Одного подходящего объекта достаточно, чтобы такое утверждение было истинным. Этот вид высказываний нужен, когда речь идёт хотя бы об одном случае.
Квантор существования — слова «существует» или «найдётся»; в математической записи ему соответствует знак ∃. Запись «существует x, для которого верно P(x)» сообщает, что можно указать хотя бы один подходящий x. Это не означает, что свойством обладают все объекты. Различать кванторы важно, потому что при отрицании они меняются местами.
Чтобы отрицать утверждение «для всех объектов верно свойство P», достаточно указать, что существует объект, для которого P неверно. Причина в том, что всеобщему утверждению мешает даже один неподходящий случай: если хотя бы один объект не обладает свойством, говорить «для всех» уже нельзя. Например, фразу «все числа набора чётные» опровергает одно нечётное число из этого набора. Такой объект называют контрпримером.
Поэтому при отрицании квантор общности заменяется квантором существования, а свойство — его противоположностью: «для всех P» превращается в «существует не-P». Меняется не только слово «все»: без изменения свойства получилось бы другое утверждение, а не отрицание исходного. Если сказать «существует x, для которого x > 0», это не опровергнет фразу «для всех x верно x > 0». Правильный вариант — «существует x, для которого x ≤ 0».
Утверждение «существует объект со свойством P» отрицается словами «для всех объектов свойство P неверно». Если подходящего объекта нет, значит, каждый объект не обладает этим свойством. Поэтому квантор существования заменяется квантором общности, а само свойство отрицается. Например, «существует число, делящееся на 2» отрицается утверждением «ни одно число не делится на 2».
Отрицание должно противоречить исходному утверждению и охватывать все случаи: недостаточно привести несколько примеров или сказать, что утверждение не всегда верно. Фраза «не все числа чётные» означает, что есть хотя бы одно нечётное число, а не то, что все числа нечётные. А слова «утверждение иногда неверно» не говорят, что происходит в остальных случаях. При проверке уточняй, какой именно случай опровергает исходное высказывание.
При отрицании составного свойства нужно отрицать всё свойство целиком: например, отрицание «число положительное и чётное» означает «число неположительное или нечётное». Чтобы число не было одновременно положительным и чётным, достаточно нарушения хотя бы одного из двух условий. Поэтому союз «и» при отрицании превращается в «или». Для свойства «положительное или чётное» действует обратное правило: отрицание требует, чтобы число было и неположительным, и нечётным.
| Исходное утверждение | Отрицание | Что меняется |
|---|---|---|
| Для всех x верно P(x) | Существует x, для которого неверно P(x) | ∀ заменяется на ∃, P — на не-P |
| Существует x, для которого верно P(x) | Для всех x неверно P(x) | ∃ заменяется на ∀, P — на не-P |
| Для всех x: x > 0 | Существует x: x ≤ 0 | Строгое неравенство заменяется противоположным нестрогим |
| Существует x: x = 5 | Для всех x: x ≠ 5 | Равенство заменяется неравенством |
Сначала определите, какой квантор стоит в исходной фразе, затем замените его на другой. После этого отдельно найдите противоположность свойства, учитывая равенство на границе в неравенствах. Проверьте, что исходное утверждение и его отрицание не могут быть истинными одновременно и вместе охватывают все возможные случаи.
Задача 1. Сформулируйте отрицание утверждения: «Все числа в наборе 2, 4, 7 чётные». Нужно не просто сказать, что фраза неверна, а точно описать, что должно произойти. Так будет видно, какое условие опровергает слово «все».
Задача 2. Сформулируйте отрицание утверждения: «Среди чисел 1, 3, 5 существует число, делящееся на 2». Здесь сказано, что достаточно одного подходящего числа, поэтому для отрицания нужно исключить каждый такой случай. Проверим, что формулировка отрицания действительно говорит обо всех трёх числах.
Задача 3. Сформулируйте отрицание утверждения: «Для каждого целого числа x верно: x > 0 или x чётное». Внутри фразы стоят два условия, соединённые словом «или», поэтому важно отрицать всё составное свойство. Одного нарушения общего утверждения достаточно, но оно должно нарушать оба условия исходного «или».
Ошибка: оставить прежний квантор и сказать, что отрицание «все» — это просто «не все». Такая фраза иногда употребляется в разговоре, но не показывает, какой случай опровергает утверждение. Из-за этого легко не заметить, что нужен хотя бы один объект, у которого свойство не выполняется. Проверь себя вопросом: можешь ли ты сформулировать, что именно существует?
Ошибка: поменять квантор, но оставить исходное свойство. Например, вместо «существует x, для которого x ≤ 0» написать «существует x, для которого x > 0». Так получается утверждение о положительном числе, которое может быть истинным одновременно с исходным. Чтобы проверить ответ, подставь подходящий объект и убедись, что он действительно противоречит исходному свойству.
Ошибка: отрицать «существует» словами «не существует», но не пояснять смысл этой фразы через квантор общности. Так можно не заметить, что отрицание должно охватывать каждый объект множества. Равносильная точная запись: «для всех объектов свойство неверно». Проверь, указано ли в ответе, что подходящего объекта нет ни одного.
Ошибка: неверно отрицать неравенство, например считать, что отрицание x > 0 — это x < 0. Тогда случай x = 0 не попадает ни в исходное неравенство, ни в такое отрицание. Причина ошибки — забытая граница. Для проверки подставь граничное значение: отрицание x > 0 должно включать ноль, поэтому верный знак — x ≤ 0.
Для работы с кванторами нужно уметь различать истинные и ложные высказывания и понимать слова «все», «некоторые», «существует». Также пригодится умение отрицать простые свойства: равенство, неравенство, делимость и чётность. Например, число, не делящееся на 2, является нечётным среди целых чисел. Навык отрицания используют при доказательствах, поиске контрпримеров и проверке математических утверждений.
Как правильно отрицать утверждение со словами «для всех»?
Замените слова «для всех» на «существует такой объект, что…», а свойство — на противоположное. Например, отрицание «для всех x верно x > 0» — «существует x, для которого x ≤ 0».
Чем отличается отрицание «все» от фразы «ни один»?
Отрицание «все объекты обладают свойством» означает, что хотя бы один объект им не обладает. Фраза «ни один не обладает» означает, что свойство неверно для каждого объекта.
Почему при отрицании квантор тоже меняется?
Утверждение «для всех» опровергает один найденный объект, поэтому отрицание говорит о существовании такого объекта. А чтобы опровергнуть утверждение «существует», нужно показать, что свойство неверно у каждого объекта.
Как найти контрпример к утверждению?
Найдите объект из указанного множества, для которого исходное свойство не выполняется. Например, число 7 — контрпример к утверждению «все числа 2, 4, 7 чётные».
Как отрицать неравенство со знаком больше или меньше?
При отрицании строгого неравенства получается нестрогое с обратным направлением: x > a отрицается как x ≤ a, а x < a — как x ≥ a. Равенство тоже учитывается, поэтому знак становится нестрогим.
4. Отрицание утверждений с кванторами
