"Математика в 3-х частях (изд. «Ювента»)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Процентом называют одну сотую часть целого. Проценты помогают сравнивать величины и находить части числа, например скидку от цены или долю учеников в классе. Знак % означает «из ста»: 1% = 1/100 = 0,01. Чтобы решить задачу, сначала определи целое, а затем выбери подходящее действие: умножение, деление или сравнение двух величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Процент — это одна сотая часть целого. Знак % означает «из ста», поэтому 1% = 1/100 = 0,01. Такая запись помогает выражать части целого единообразно и быстро сравнивать их.
Процент от числа — часть данного числа, которую находят умножением числа на соответствующую дробь или десятичную запись процента. Например, можно определить, сколько денег составляет скидка от цены или сколько учеников — часть класса. Это понятие нужно, когда известно целое и требуется найти его часть.
Нахождение числа по его проценту — восстановление целого, если известны его часть и доля в процентах. Например, если известна стоимость товара после того, как определена её доля от полной цены, можно найти полную цену. Здесь важно перейти от известной части обратно к целому.
Процентное отношение — выражение отношения двух величин в процентах: отношение умножают на 100%. Оно показывает, какую часть одна величина составляет от другой. Сначала выбирают величину, принятую за целое, а потом сравнивают с ней вторую величину.
Целое можно мысленно разделить на 100 одинаковых частей. Одна такая часть называется одной сотой, поэтому и говорят, что она составляет 1%. Если взять семь таких частей, получим 7/100, а если взять двадцать пять — 25/100. Так становится понятно, почему процент можно записывать обыкновенной дробью со знаменателем 100 или десятичной дробью: например, 25% = 25/100 = 0,25.
Перевод процентов в десятичную дробь нужен, чтобы удобно выполнять вычисления. Поскольку процент означает долю со знаменателем 100, достаточно число процентов разделить на 100: запятая как будто сдвигается на два знака влево. Например, 8% = 0,08, а 125% = 1,25. Дробное число процентов переводится так же: 2,5% = 2,5 : 100 = 0,025.
Чтобы найти процент от числа, сначала представь процент десятичной дробью, а затем умножь на данное число. Умножение берёт нужную долю от целого: например, 0,25 от числа — это четверть числа, потому что 0,25 = 1/4. Поэтому 25% от 80 находят так: 80 · 0,25. Такой способ подходит и для процентов меньше 100, и для процентов больше 100.
В обратной задаче часть уже известна, а целое нужно восстановить. Если часть составляет, например, 30% целого, то она равна 0,3 целого. Чтобы узнать целое, раздели известную часть на 0,3: деление показывает, сколько таких долей помещается в известной части. Поэтому, если 12 — это 30% целого, целое равно 12 : 0,3.
Чтобы узнать, сколько процентов одна величина составляет от другой, сначала раздели сравниваемую величину на ту, которую приняли за целое. Полученное отношение показывает, какую долю целого составляет первая величина. Умножение результата на 100% переводит эту долю в проценты: например, 15 из 60 — это 15 : 60 · 100% = 25%. Выбор знаменателя зависит от смысла задачи, а не от того, какое число больше.
| Что известно | Что нужно найти | Как рассуждать | Пример записи |
|---|---|---|---|
| Дано число и процент | Найти часть | Перевести процент в десятичную дробь и умножить на число | a · p/100 |
| Даны часть и её процент | Найти целое | Разделить часть на десятичную запись процента | b : (p/100) |
| Даны две величины | Найти, сколько процентов одна составляет от другой | Первую величину разделить на принятую за целое и умножить на 100% | a : b · 100% |
Сначала прочитай, что дано и что требуется найти, а затем определи, какая величина считается целым. Если известны целое и процент, ищи часть умножением; если известна часть, восстанавливай целое делением. В последней строке таблицы порядок величин задаёт условие задачи.
Известно целое — 80, а требуется найти его часть. Двадцать пять процентов — это 25/100, или 0,25. Значит, нужно умножить 80 на 0,25.
Ответ: 20.
Число всех учеников — целое, то есть 100%, а 12 учеников — только его часть. Поэтому нельзя умножать 12 на 0,3: это уменьшило бы известную часть. Чтобы восстановить число учеников во всём классе, разделим 12 на долю, которую составляет эта часть.
Ответ: в классе 40 учеников.
Проданные яблоки составляют 15% от первоначального запаса — 240 кг. После продажи нужно узнать, сколько осталось, и только затем прибавить привезённые 18 кг. Порядок важен: привезённое количество не относится к первоначальным 240 кг.
Ответ: в магазине стало 222 кг яблок.
Иногда умножают на число процентов, не деля его на 100: например, принимают 20% за 20. Так происходит, когда забывают, что знак % означает «из ста». Перед вычислением запиши процент десятичной дробью: 20% = 0,2, а результат проверь по смыслу — 20% от числа меньше самого числа.
При нахождении целого могут умножить известную часть на процент. Здесь перепутаны две задачи: умножение на долю находит часть от целого, а целое восстанавливают делением. Проверка простая: подставь найденное целое и умножь его на долю процента — должна получиться известная часть.
Ещё одна ошибка — не определить, от какой величины берётся процент. Например, в задаче о проданных яблоках проценты относятся к запасу до продажи, а не к количеству после неё. Чтобы избежать ошибки, назови целое словами и отметь его как 100% до вычислений.
В задаче на процентное отношение иногда делят большее число на меньшее, потому что так кажется естественным при сравнении. Но нужно делить именно величину, долю которой ищут, на величину, принятую за целое. Проверь, отвечает ли результат на вопрос условия: если спрашивают, сколько процентов 12 составляет от 40, вычисляй 12 : 40 · 100%, а не наоборот.
Для работы с процентами пригодятся умение находить долю числа, записывать обыкновенные и десятичные дроби и выполнять действия с ними. Например, перевод процента в десятичную дробь опирается на деление на 100, а поиск части — на умножение. Если эти действия знакомы, проценты становятся ещё одной удобной формой записи долей.
Проценты часто встречаются в практических задачах: при расчёте скидок и изменения цен, в составах смесей, статистике и финансовых расчётах. В каждом случае полезно сначала установить, какая величина принята за целое. Это помогает выбрать действие и не перепутать исходное количество с изменённым.
Почему процент — это именно одна сотая?
Слово «процент» означает «сотая часть». Если целое разделить на 100 равных частей, одна такая часть и будет составлять 1%.
Как быстро перевести 7% в десятичную дробь?
Раздели 7 на 100: получится 0,07. Значит, 7% = 0,07.
Как найти 15% от числа?
Переведи 15% в десятичную дробь: 15% = 0,15. Умножь данное число на 0,15.
Почему число по его проценту нужно находить делением?
Известная часть составляет только некоторую долю целого. Чтобы восстановить целое, нужно узнать, сколько таких долей содержится в этой части: для этого её делят на долю, записанную десятичной дробью.
Как понять, от какого числа нужно вычислять процент?
Найди величину, которую в задаче принимают за целое, то есть за 100%. Например, если спрашивают долю проданных яблок, целым считают первоначальное количество яблок.
§ 2. Проценты
