40. Проценты

Определения и обозначения

Процент — одна сотая часть величины. Его обозначают знаком %. Запись 1% = 1/100 означает, что целое разделили на 100 равных частей и взяли одну такую часть.

Процентная запись числа — запись числа с помощью процентов. За 100% принимают единицу, поэтому 100% = 1, 50% = 0,5, а 25% = 0,25. Такая запись удобна, когда нужно показать, какую часть целого составляет число.

Процент от числа — часть данного числа, соответствующая заданному количеству процентов. Например, 20% от 50 — это число, которое составляет двадцать сотых от 50. Это понятие используют, когда известна величина целиком и требуется найти её часть.

Число по его проценту — исходное число, которое находят по известной части и соответствующему ей проценту. Если 12 составляет 30% некоторого числа, то нужно восстановить всё число. Такое действие применяют, когда известна часть величины, но неизвестно целое.

Как это устроено

Процент означает сотую часть, потому что слово «процент» буквально связано с выражением «на сто». Если величину принять за 1 и разделить её на 100 равных частей, одна часть будет равна 1/100. В десятичной записи это 0,01, поэтому 1% = 1/100 = 0,01.

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, количество процентов делят на 100: p% = p/100. Деление на 100 связано с тем, что процентом считается не целое число частей, а столько сотых частей, сколько указано в записи. Обратно, десятичную дробь переводят в проценты умножением на 100, например 0,37 = 37%.

Процент от числа находят умножением, потому что нужно взять не всё число, а некоторую его долю. Сначала процент заменяют десятичной дробью, а затем умножают на данное число: 18% от 200 = 0,18 · 200. Чем меньше процент по сравнению со 100%, тем меньшую часть исходного числа обычно получаем.

Число по его проценту находят делением известной части на десятичную дробь процентов. Если часть равна 0,3 всего числа, то для восстановления единицы нужно выполнить обратное действие: часть разделить на 0,3. Например, если 12 — это 30%, то 12 : 0,3 = 40.

Результат полезно проверять сравнением с 100%. При проценте меньше 100% искомая часть должна быть меньше исходного числа, а при 100% — равна ему. Если процент больше 100%, результат может быть больше исходной величины, поэтому ответ 150% от числа должен оказаться в полтора раза больше этого числа.

Основные действия с процентами

В таблице сначала определите, что именно требуется найти. Затем узнайте, какое число уже дано, и выберите действие из последнего столбца. Процент перед вычислением удобно заменить десятичной дробью.

Разбор задач

Запишите 35% в виде десятичной дроби и обыкновенной дроби.

Нужно представить тридцать пять процентов как часть единицы. Для этого число процентов делим на 100, а затем записываем получившуюся дробь в обычном виде. Обыкновенную дробь можно сократить, если у числителя и знаменателя есть общий делитель.

1. Переводим проценты в дробь: 35% = 35/100.
2. Получаем десятичную запись: 35 : 100 = 0,35.
3. Сокращаем обыкновенную дробь на 5: 35/100 = 7/20.

Ответ: 35% = 0,35 = 7/20.

Найдите 15% от 240.

Здесь известно всё число — 240, а найти нужно только его часть. Поэтому процент переводим в десятичную дробь и умножаем на исходное число. Полученный результат должен быть меньше 240, потому что 15% меньше 100%.

1. Переводим 15% в десятичную дробь: 15% = 0,15.
2. Находим часть числа: 240 · 0,15 = 36.
3. Проверяем: 36 меньше 240, значит результат разумен.

Ответ: 36.

В классе 12 учеников составляют 30% всех учащихся. Сколько учеников в классе?

Число 12 — не всё количество учеников, а только его часть. Она равна 30% искомого числа, то есть 0,3 от него. Чтобы восстановить 100%, делим известную часть на 0,3.

1. Переводим 30% в десятичную дробь: 30% = 0,3.
2. Находим всё число: 12 : 0,3 = 40.
3. Проверяем: 30% от 40 равны 40 · 0,3 = 12.

Ответ: в классе 40 учеников.

Типичные ошибки

Иногда число процентов делят на 10, но это неверно: процент — сотая, а не десятая часть. Например, 35% — это 0,35, а не 3,5. Проверить себя можно так: при делении процентов на 100 запятая должна переместиться на два знака влево.

При нахождении процента от числа некоторые делят исходное число на десятичную дробь. Так находят число по его проценту, а не процент от числа. Если нужно взять часть от известного целого, следует умножать.

Другая ошибка — умножать известную часть на десятичную дробь, когда требуется найти исходное число. Умножение ещё уменьшит часть при проценте меньше 100%, а для восстановления целого нужно деление. Проверка: найденное число должно дать известную часть после умножения на процентную дробь.

Нельзя забывать сравнивать ответ со 100%. Часть, составляющая меньше 100% исходного числа, не может оказаться больше этого числа. Если результат нарушает такое сравнение, нужно проверить перевод процентов и выбранное действие.

Связь с другими темами

Для работы с процентами нужны навыки действий с обыкновенными и десятичными дробями. Также важно уверенно выполнять умножение и деление дробей на натуральные числа. Эти умения помогают не только считать проценты, но и проверять полученные ответы.

Проценты встречаются в задачах о скидках, ценах, результатах опросов и изменении величин. Например, по проценту скидки можно найти, сколько рублей сэкономили. В таких задачах сначала определяют, что является целым числом, а затем находят нужную часть.

Дальше проценты понадобятся при изучении пропорций и более сложных процентных задач. Умение переводить процент в дробь позволяет записывать условие кратко. Главное — различать нахождение части от целого и восстановление целого по его части.

Что запомнить

• 1% = 1/100 = 0,01.
• 100% величины — это вся величина.
• Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, раздели их число на 100.
• Чтобы найти процент от числа, умножь число на соответствующую десятичную дробь.
• Чтобы найти число по его проценту, раздели известную часть на соответствующую десятичную дробь.
• Результат полезно проверять оценкой: сравнивать его с исходным числом.