41. Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, лучи OA и OB имеют общую точку O, поэтому образуют угол с вершиной O.

Прямой угол — угол, который получают при пересечении двух перпендикулярных прямых. На чертеже его стороны встречаются под особым углом, похожим на уголок чертежного треугольника. По одному только виду рисунка судить нельзя, поэтому прямой угол проверяют инструментом.

Развернутый угол — угол, стороны которого являются противоположными лучами одной прямой. Они имеют общую вершину и направлены в разные стороны. Поэтому стороны развернутого угла лежат на одной прямой.

Чертежный треугольник — инструмент, у которого есть прямой угол. Им проверяют, является ли данный угол прямым, и проводят перпендикулярные линии. Такой инструмент помогает выполнять построения точно, а не на глаз.

Как это устроено

Угол возникает, когда из одной точки проводят два луча. Точка становится вершиной, потому что именно из неё начинаются обе стороны; без общего начала два луча не образовали бы один угол. Направления лучей задают форму угла: если изменить направление одной стороны, изменится и сам угол. Поэтому при описании угла называют не только его область, но и оба луча.

Угол обозначают тремя заглавными буквами, чтобы сразу указать вершину и обе стороны. Букву вершины ставят посередине: в записи ∠AOB точка O является общей для лучей OA и OB. Если около одной вершины изображён только один угол, можно обозначить его одной буквой, например ∠O. При нескольких углах у одной вершины одной буквы недостаточно, потому что непонятно, какой именно угол выбран.

Прямой угол можно получить, приложив чертежный треугольник к прямой. Один край инструмента совмещают с данной прямой, а другой край, выходящий из той же вершины, показывает направление перпендикуляра. Так треугольник задаёт точное положение второй линии, ведь его стороны образуют прямой угол. Это полезнее, чем пытаться провести линию по внешнему виду.

Развернутый угол получается, когда стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. У него общая вершина сохраняется, но два луча продолжают друг друга в разные стороны. Чтобы проверить, является ли угол прямым, вершину прямого угла треугольника совмещают с вершиной проверяемого угла, а одну сторону — с краем инструмента. Если вторая сторона точно совпадает с другим краем треугольника, угол прямой.

Сравнение прямого и развернутого углов

Сначала найдите вершину и рассмотрите, как расположены два луча. Затем сравните их с признаками в нужной строке таблицы. Если чертёж выглядит неточно, используйте чертежный треугольник, а не впечатление от рисунка.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке отмечены лучи OA и OB. Назовите вершину и стороны угла AOB. Нужно найти общую начальную точку лучей и правильно прочитать обозначение угла.

1. Сравним начала лучей OA и OB: оба луча начинаются в точке O.
2. Значит, точка O является общей начальной точкой и вершиной угла.
3. Сторонами угла будут сами лучи, то есть OA и OB.

Ответ: вершина угла — O, стороны — лучи OA и OB.

Задача 2

Проверьте с помощью чертежного треугольника, является ли угол на рисунке прямым. Сам рисунок может быть выполнен не совсем точно, поэтому нужно выполнить проверку инструментом.

1. Поставим вершину прямого угла треугольника на вершину проверяемого угла.
2. Совместим один край треугольника с одной стороной угла.
3. Посмотрим на вторую сторону: если она совпадёт с другим краем прямого угла треугольника, угол прямой.

Ответ: угол является прямым только при точном совпадении второй стороны с краем треугольника.

Задача 3

С помощью линейки и чертежного треугольника проведите из точки O луч, перпендикулярный данной прямой, и назовите получившийся угол. Нужно построить вторую сторону так, чтобы она образовала с данной прямой прямой угол.

1. Приложим один край треугольника к данной прямой, а вершину его прямого угла совместим с точкой O.
2. Проведём по другому краю треугольника линию, начиная от O, и получим нужный луч.
3. Проверим положение: новая линия перпендикулярна данной прямой, значит, стороны образуют прямой угол.

Ответ: построен луч, перпендикулярный данной прямой; получившийся угол — прямой.

Типичные ошибки

Иногда углом называют только область между сторонами и забывают о лучах. Так происходит, потому что на рисунке чаще всего заметно именно свободное место внутри. Проверьте себя: назовите вершину и два луча — если их нельзя указать, определение неполное.

При записи тремя буквами некоторые ставят букву вершины первой или последней. Причина ошибки в том, что читают обозначение как обычное название, не учитывая роль общей точки. Проверьте запись: средняя буква должна совпадать с началом обоих лучей.

Нельзя считать угол прямым только потому, что он похож на уголок. Чертёж может быть уменьшен, наклонён или выполнен неточно. Приложите чертежный треугольник и проверьте совпадение обеих сторон с краями его прямого угла.

Прямой и развернутый углы иногда путают из-за слова «прямой». У прямого угла стороны перпендикулярны, а у развернутого лежат на одной прямой и направлены в разные стороны. Для проверки сначала посмотрите, образуют ли стороны уголок или продолжают одну линию.

Связь с другими темами

До изучения углов нужно знать, что такое точка, прямая, луч и отрезок, а также уметь пользоваться линейкой. Эти понятия помогают правильно находить вершину и стороны угла.

Распознавание прямых углов пригодится при изучении перпендикулярных прямых, геометрических фигур и построении чертежей. Чертежный треугольник связывает измерение углов с практическими построениями.

Что запомнить

• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• Стороны угла — лучи, которые его образуют.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.
• У прямого угла стороны перпендикулярны.
• У развернутого угла стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны.
• Чертежный треугольник помогает проверять и проводить прямые углы.