41. Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называется вершиной, а лучи — сторонами угла. Представь два луча, выходящие из одной точки: точка задаёт место встречи сторон, а каждый луч показывает направление одной стороны. Это определение помогает правильно находить угол на чертеже и отличать его от других фигур.

Прямой угол — угол, который составляет половину развернутого угла. Иначе говоря, если разделить развернутый угол пополам, получатся прямые углы. Это свойство полезно, когда нужно распознать прямой угол или построить его без измерений.

Развернутый угол — угол, стороны которого являются противоположными лучами одной прямой. У него есть общая вершина, а стороны продолжают друг друга в противоположных направлениях. Такое определение помогает отличать развернутый угол от просто широко раскрытого угла.

Чертежный треугольник — инструмент для построения и проверки прямых углов. У него есть угол, который можно приложить к углу на чертеже или использовать как образец при построении. Благодаря этому инструменту можно работать с прямым углом, не определяя его на глаз.

Как это устроено

Чтобы увидеть угол, сначала найди два луча, выходящие из одной точки. Лучи становятся сторонами, потому что именно они задают направления фигуры, а их общее начало — вершиной. Если лучи не имеют общей начальной точки, они не образуют угол в этом смысле. Например, у двух лучей с началом O вершина — O, а стороны — оба луча.

Развернутый угол получается, когда стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Представь прямую и точку на ней: из точки можно провести два луча вдоль прямой, один влево, другой вправо. Эти лучи продолжают друг друга, поэтому между ними образуется развернутый угол. Если лучи направлены не по одной прямой, угол не будет развернутым, даже если кажется очень широким.

Прямой угол равен половине развернутого, потому что он получается, если развернутый угол разделить на две равные части. Можно представить, что из общей вершины проведён ещё один луч, который делит развернутый угол пополам. Между новым лучом и каждым из противоположных лучей прямой получится прямой угол. Это позволяет понять связь этих двух видов углов и использовать развернутый угол как ориентир.

Чтобы проверить, прямой ли угол на чертеже, приложи к нему чертежный треугольник. Совмести вершину его прямого угла с вершиной проверяемого, а стороны прямого угла — со сторонами на чертеже. Если обе пары сторон совпали, значит, проверяемый угол прямой. Используют именно прямой угол треугольника, потому что другие его стороны могут образовывать углы другой формы.

Чертежным треугольником можно и построить прямой угол. Сначала совмести одну сторону его прямого угла с заданным лучом, а вершину — с началом этого луча. Затем проведи из общей вершины новый луч вдоль другой стороны прямого угла треугольника. Поскольку инструмент задаёт прямой угол, новый луч и заданный образуют нужный угол.

Углы и их признаки

Сначала определи, какой объект рассматриваешь, затем проверь его устройство по таблице. Для прямого угла используй чертежный треугольник, а для развернутого — проверь, лежат ли стороны на одной прямой и смотрят ли в противоположные стороны. Так признаки не смешиваются.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены два луча с общим началом. Укажите вершину угла и его стороны.

1. Найди точку, из которой выходят оба луча: это их общее начало.
2. Назови эту точку вершиной угла. Не выбирай точку где-то дальше на луче: она не является началом обеих сторон.
3. Назови стороны угла по двум лучам, например луч OA и луч OB, если их общее начало обозначено O.

Ответ: вершина — общее начало лучей; стороны — оба луча.

Задача 2. На прямой отмечена точка O, из которой проведён луч. Какие два угла образовались и как связаны их стороны?

1. Определи два луча, на которые точка O делит прямую. Они имеют общее начало O и направлены в противоположные стороны.
2. Сравни каждый из них с проведённым из O лучом. Он образует один угол с первым лучом прямой и другой — со вторым.
3. В каждом из двух углов сторонами будут проведённый луч и один из противоположных лучей прямой. Два угла вместе составляют развернутый угол, а их общая сторона — проведённый луч.

Ответ: образовались два угла; у них есть общая сторона, а остальные стороны — противоположные лучи одной прямой.

Задача 3. Проверьте с помощью чертежного треугольника, является ли угол на рисунке прямым. Затем постройте прямой угол с заданной вершиной и стороной.

1. Для проверки совмести вершину прямого угла треугольника с вершиной угла на рисунке, а стороны прямого угла — с проверяемыми сторонами.
2. Если обе стороны совпали, угол прямой. Если хотя бы одна сторона не совпала, совпадения нет, и угол не подтверждён как прямой.
3. Для построения совмести одну сторону прямого угла треугольника с заданным лучом, а вершину инструмента — с началом луча.
4. Проведи из этой вершины луч по другой стороне прямого угла треугольника. Получившийся угол между лучами будет прямым.

Ответ: угол проверяют по совпадению сторон, а строят, проводя второй луч вдоль другой стороны прямого угла треугольника.

Типичные ошибки

Иногда вершиной называют любую точку, отмеченную на стороне угла. Так происходит, потому что заметная точка на чертеже может отвлечь внимание от начала лучей. Проверь себя: вершина одна и та же для обеих сторон, из неё выходят оба луча. Точка, лежащая дальше на одной стороне, общим началом не является.

Стороны угла могут принять за отрезки. На рисунке лучи часто изображают короткими линиями, поэтому кажется, что они заканчиваются. Но сторона угла — луч, который продолжается в одном направлении от вершины. Чтобы проверить себя, вспомни, что у луча есть начало, но нет конца.

Широко раскрытый угол не обязательно развернутый. Его так называют по внешнему виду, хотя стороны могут не лежать на одной прямой. Проверь, можно ли провести через обе стороны одну прямую и направлены ли лучи в противоположные стороны. Если нет, угол не развернутый.

При проверке прямого угла иногда прикладывают к рисунку любые стороны чертежного треугольника. Это неверно, потому что прямой угол образуют только две стороны, сходящиеся в его вершине. Найди на инструменте именно этот угол, совмести его вершину с вершиной проверяемого, а обе стороны сравни с его сторонами.

Связь с другими темами

Для работы с углами нужно уметь различать прямую и луч, находить начало луча и пользоваться линейкой. Эти навыки помогают точно определить, где расположены стороны и вершина, а также аккуратно проводить линии на чертеже. Если забыть, что луч продолжается в одну сторону, можно ошибиться в распознавании угла.

Понятие угла пригодится при изучении измерения углов и геометрических фигур. Оно также нужно для построения чертежей: с помощью углов описывают расположение сторон и проверяют форму фигур. Умение пользоваться чертежным треугольником станет основой для дальнейших построений.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало сторон угла называют вершиной.
• Стороны угла — лучи.
• Стороны развернутого угла лежат на одной прямой и направлены в разные стороны.
• Прямой угол составляет половину развернутого.
• Чертежным треугольником проверяют и строят прямые углы.