40. Проценты

Определения и обозначения

Процент — одна сотая часть целого. Запись 1% = 1/100 = 0,01 показывает, что целое разделили на сто равных частей и взяли одну. Это обозначение помогает записывать доли величины коротко и сравнивать их.

Процент от числа — часть данного числа, соответствующая указанному проценту. Чтобы её найти, процент записывают обыкновенной или десятичной дробью и применяют к числу. Так можно, например, узнать, сколько деталей составляет заданная доля всех деталей.

Число по его проценту — целое, которое восстанавливают, когда известна его процентная часть. Например, если известное количество составляет 20% некоторой величины, можно найти всю величину. Этот способ нужен, когда дана только часть и доля, которую она составляет.

Процентное отношение показывает, какую часть одно число составляет от другого, в процентах. Сначала сравниваемую часть соотносят с целым, а затем выражают результат в процентах. Так удобно сравнивать результаты, размеры частей или доли разных величин.

Как это устроено

Проценты связаны с дробями потому, что целое условились принимать за 100 равных частей. Поэтому 25% — это 25 сотых, то есть 25/100, а 100% — все сто частей вместе, целое. Такая договорённость позволяет выражать части разных величин одним способом и сравнивать их. Если процент больше 100%, это означает, что рассматриваемая величина превосходит целое, выбранное за 100%.

Чтобы перевести проценты в дробь, число процентов делят на 100: знак процента означает «из ста». Например, 35% = 35/100 = 0,35. Обратно, дробь, показывающую часть целого, умножают на 100%, потому что нужно узнать, сколько сотых частей она содержит: 0,4 соответствует 40%. Перевод в дробь удобен для вычислений, а запись в процентах — для сравнения частей.

Процент от числа находят умножением: сначала процент заменяют дробью, затем умножают на данное число. Например, чтобы найти 20% числа 150, вычисляют 0,2 × 150. Так получается именно часть целого: умножение на дробь меньше единицы выбирает указанную долю числа. Если процент превышает 100%, соответствующая дробь больше единицы, поэтому результат будет больше исходного числа.

Чтобы восстановить целое по его проценту, известную часть делят на дробь, которой выражен процент. Деление отвечает на вопрос, сколько таких процентных частей укладывается в целое. Если 30 — это 20%, то 30 делят на 0,2 и получают 150. Результат полезно проверить: при проценте меньше 100% целое должно быть больше известной части.

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, сравниваемую часть делят на число, с которым её сравнивают, и умножают результат на 100%. Деление показывает, какую долю целого составляет часть, а умножение на 100 переводит эту долю в проценты. Например, отношение 30 к 150 равно 0,2, то есть 20%. Второе число здесь играет роль целого, поэтому важно не перепутать его с частью.

Основные задачи на проценты

Таблица помогает выбрать действие по тому, что требуется найти. Сначала определи, какое число в задаче считается целым и что уже известно, а затем выбери подходящую строку. Примеры показывают, как записать вычисление для каждого вида задачи.

Разбор задач

Задача 1. Запишите 7%, 40% и 125% в виде десятичных дробей. Чтобы перейти к десятичной записи, каждый процент нужно выразить в сотых. Процент может быть больше 100%, поэтому результат для 125% тоже может оказаться больше единицы.

1. Разделим 7 на 100: 7% = 0,07.
2. Разделим 40 на 100: 40% = 0,4.
3. Разделим 125 на 100: 125% = 1,25.

Ответ: 0,07; 0,4; 1,25. Последняя дробь больше единицы, потому что 125 сотых больше, чем 100 сотых.

Задача 2. В коробке 240 деталей. 15% деталей — красные. Сколько красных деталей в коробке? Здесь все детали — целое, а красные составляют его часть, поэтому сначала заменим процент дробью, а затем найдём указанную часть от 240.

1. Запишем процент десятичной дробью: 15% = 15 : 100 = 0,15.
2. Найдём 15% от общего количества: 240 × 0,15 = 36.
3. Проверим: 10% от 240 — это 24 детали, а 5% — 12; вместе 24 + 12 = 36.

Ответ: в коробке 36 красных деталей. Проверка тем же процентом подтверждает, что получилась нужная часть от 240.

Задача 3. В спортивной секции 18 учеников составляют 30% всех учащихся. Сколько всего учащихся в секции и сколько процентов составляют остальные? Число 18 — не целое, а его известная часть, поэтому сначала восстановим общее количество. Затем вычтем известную часть из целого и выразим оставшуюся долю в процентах.

1. Запишем 30% дробью: 30% = 0,3.
2. Найдём общее количество: 18 : 0,3 = 60 учеников.
3. Найдём остальных: 60 − 18 = 42 ученика.
4. Если все учащиеся составляют 100%, то оставшаяся доля равна 100% − 30% = 70%.

Ответ: всего 60 учащихся; остальные составляют 70%. Проверка: 30% от 60 равно 18, а 60 − 18 = 42.

Типичные ошибки

Путают одну сотую с одной десятой. Это происходит, если ориентироваться на слово «часть», не замечая, что процент означает деление именно на 100. Проверь себя: 1% = 1/100 = 0,01, а одна десятая — это 10%.

Забывают разделить процент на 100. Тогда, например, вместо 35% записывают 35 или неверно передвигают запятую. Проверь перевод умножением: 0,35 × 100 = 35, значит 35% = 0,35.

Умножают известную часть на процент, когда ищут целое. Так поступают, смешивая задачу на процент от числа с обратной задачей. Для целого нужно делить известную часть на соответствующую дробь: если 30 — это 20%, вычисление 30 : 0,2 даёт 150. Проверь, что при проценте меньше 100% целое больше части.

Меняют местами часть и целое в процентном отношении. Ошибка возникает, если делить на число, которое требуется сравнить, а не на основу сравнения. Сначала определи целое — оно соответствует 100%, — затем раздели часть на целое. Проверка: часть не должна превышать целое, если речь идёт о его части.

Связь с другими темами

Для вычислений с процентами нужны знания об обыкновенных и десятичных дробях, умножении и делении чисел. Именно дроби помогают записать процент для вычисления, а действия с числами позволяют найти часть или восстановить целое. Позже проценты пригодятся в задачах о скидках, долях величины и результатах опросов. Их также используют при изучении пропорций, когда сравнивают связанные величины.

Что запомнить

• 1% = 1/100 = 0,01.
• 100% соответствует всему целому.
• Чтобы найти процент от числа, число умножают на соответствующую дробь.
• Чтобы найти целое по его проценту, процентную часть делят на соответствующую дробь.
• Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, часть делят на целое и умножают на 100%.
• Процент может быть больше 100%, если рассматриваемая величина больше целого, принятого за 100%.