"Математика", Ткачёва М.В.
Процент — это одна сотая часть величины, поэтому 1% = 0,01 = 1/100. Проценты помогают сравнивать часть с целым и решать практические задачи о скидках, налогах, вкладах и изменении величин. Чтобы найти процент от числа, число умножают на процентную дробь; чтобы найти число по его процентной части, известную часть делят на эту дробь.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Процент — одна сотая часть величины, обозначаемая знаком %. Например, 1% от суммы денег — это одна сотая часть всей суммы. Понятие процента нужно, чтобы удобно описывать части величины, особенно когда целое разделено на 100 равных частей.
Процентное отношение — отношение одной величины к другой, выраженное в процентах. Обычно сравнивают часть с целым: например, доля пришедших учеников от всех учеников класса. С помощью процентного отношения можно понять, какую часть целого составляет данная величина.
Процент от числа — часть числа, которую находят умножением числа на соответствующую дробь. Так, чтобы найти 15% от числа, умножают это число на 0,15. Это правило помогает быстро находить скидку, прибавку или другую часть величины.
Число по его проценту — исходное число, которое находят, если известны его процентная часть и величина этого процента. Например, если 12 — это 20% некоторого числа, нужно восстановить всё число. Для этого известную часть делят на 0,2.
Название «процент» связано с делением целого на 100 равных частей: одна такая часть и есть 1%. Поэтому 1% = 1/100. В десятичной записи это 0,01, потому что при делении единицы на 100 запятая сдвигается на два знака влево.
Чтобы перевести проценты в дробь, число процентов делят на 100 и при необходимости сокращают обыкновенную дробь. Например, 25% = 25/100 = 1/4 = 0,25, а 8% = 8/100 = 0,08. Обратно, десятичную дробь умножают на 100 и добавляют знак %: 0,4 = 40%.
Процент от числа находят умножением, потому что процентная дробь показывает, какую долю целого нужно взять. Сначала процент переводят в десятичную дробь, затем умножают на исходное число: 12% от 50 — это 0,12 · 50. Если процент меньше 100%, результат будет меньше исходного числа.
Чтобы узнать, сколько процентов составляет одно число от другого, сначала находят долю: часть делят на целое. Затем эту долю переводят в проценты, то есть умножают на 100%. Например, отношение 15 к 60 равно 0,25, а 0,25 · 100% = 25%.
Число по известной процентной части находят делением, потому что известная часть уже является умноженным результатом. Если 30% числа равны 18, то 0,3 · число = 18, значит, число = 18 : 0,3. Делить нужно именно на процентную дробь, а не на число процентов без перевода.
| Что известно | Что требуется найти | Правило | Обозначение результата |
|---|---|---|---|
| Число и процент | Процент от числа | Умножить число на процент, записанный десятичной дробью | Часть числа |
В таблице показана задача, в которой известны целое число и процент от него. Сначала процент переводят в десятичную дробь, затем выполняют умножение. Полученный результат обозначает найденную часть числа.
Для других задач полезно определить, что известно: часть, целое или процент. Если требуется восстановить целое по части, применяют деление, а если сравнивают часть с целым — составляют отношение.
Известно целое число 350 и процент, который нужно от него взять. Требуется найти часть этого числа, поэтому используем умножение. Процент 20% сначала заменим его десятичной записью.
Ответ: 70. Значит, 20% от 350 равны 70. Действие умножения выбрано потому, что искали часть известного целого.
Здесь 240 — целое число, а 84 — его часть. Нужно сравнить часть с целым и выразить результат в процентах. Поэтому сначала делим 84 на 240, а затем переводим полученную долю в проценты.
Ответ: 35%. Число 84 составляет 35% от 240. В дроби на первом месте стояла часть, а в знаменателе — целое.
Известно, что 18 учеников — это только часть класса. Процентная дробь 0,3 показывает, какая доля всего класса равна 18. Чтобы восстановить целое число учеников, делим известную часть на эту долю.
Ответ: 60 учеников. В классе было 60 учащихся. Деление восстановило целое по известной процентной части.
Иногда ученик принимает 1% за 0,1 вместо 0,01. Это происходит из-за путаницы между десятой и сотой долей: 0,1 — это 10%, а не 1%. Проверка проста: 1% должен быть в сто раз меньше единицы.
При нахождении процента от числа некоторые делят число на процент. Так делают, потому что смешивают эту задачу с восстановлением целого по его части. Если ищется часть от известного целого, нужно умножать на процентную дробь.
При нахождении процентного отношения можно поменять местами часть и целое в дроби. Причина ошибки — невнимательное чтение условия: сравнивают не «часть с целым», а наоборот. Проверьте смысл результата: часть обычно меньше целого, поэтому её отношение к целому не должно превышать 100%.
При нахождении числа по его проценту ученик умножает известную часть на процент. Так делают по аналогии с задачей «найти процент от числа», но здесь направление действия обратное. Составьте равенство 0,3 · число = часть: неизвестное число окажется частным, то есть часть нужно разделить на 0,3.
До изучения процентов нужно уметь переводить обыкновенные дроби в десятичные и выполнять действия с десятичными дробями. Эти навыки нужны, потому что процент почти всегда сначала заменяют дробью. Без точного деления и умножения легко получить неверный результат.
Проценты связаны с отношениями, пропорциями и нахождением дроби от числа. Процентное отношение — это отношение части к целому, только выраженное не обычной дробью, а в сотых долях. Поэтому многие задачи можно решать и с помощью пропорции.
В повседневной жизни проценты встречаются при расчёте скидок, налогов и вкладов. Они также описывают изменение величин и статистические данные: например, рост числа участников или долю опрошенных людей. Умение работать с процентами помогает понимать такие сообщения и проверять расчёты.
Почему 1% записывается как 0,01?
Знак % означает «из ста», поэтому 1% — это 1/100. При делении 1 на 100 получается десятичная дробь 0,01.
Когда при решении задачи на проценты нужно умножать, а когда делить?
Если нужно найти процент от известного числа, умножают число на процентную дробь. Если известна часть и её процент, исходное число находят делением части на процентную дробь.
Как понять, какое число является целым, а какое частью?
Целое — это вся величина, с которой сравнивают. Часть входит в это целое: например, 18 учеников — часть класса, а все ученики класса — целое.
Можно ли решать задачи на проценты с помощью пропорции?
Да. Например, для нахождения 20% от 350 можно записать пропорцию: 100% — 350, 20% — x. Но перевод процента в десятичную дробь и умножение часто короче.
Как проверить правильность ответа в задаче на проценты?
Оцените результат: процент меньше 100% от числа должен дать часть меньше целого. Затем выполните обратное действие: например, разделите найденную часть на целое и проверьте, получился ли нужный процент.
§ 13. Проценты
