13.1 Проценты и дроби. Нахождение процентов от числа

Определения и обозначения

Процент — одна сотая часть числа. Его обозначают знаком %: 1% = 1/100 = 0,01. Это обозначение нужно, чтобы кратко показывать, сколько частей из ста взято от целого.

Процентная дробь — дробь со знаменателем 100 или равная ей десятичная дробь. Например, 35% можно записать так: 35/100 или 0,35. Такая запись превращает процент в число, с которым удобно выполнять умножение.

Проценты от числа — это часть данного числа, которую находят умножением числа на соответствующую процентную дробь. Например, 20% от 50 — это 50 · 0,2 = 10. Понятие помогает решать задачи о частях величины, скидках, составе товаров и других изменениях.

Как это устроено

Целое число соответствует 100%, потому что его можно представить как 100 сотых частей. Если разделить целое на 100, получится 1% этого целого. Поэтому 100% записывают как 100/100 = 1, а умножение числа на 1 оставляет это число без изменения.

Процент, обыкновенная дробь со знаменателем 100 и десятичная дробь обозначают одну и ту же величину. Например, 35% = 35/100 = 0,35: числитель показывает 35 взятых сотых, а десятичная запись показывает их коротко. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, число процентов делят на 100, то есть запятую передвигают на две цифры влево.

Чтобы найти p% от числа a, процент заменяют десятичной дробью и умножают на исходное число: a · p/100. Причина такого правила в том, что процентная дробь показывает, какую долю от целого нужно взять. Например, 15% от 240 — это 240 · 0,15 = 36.

Способ вычисления можно выбирать по числам. Если удобно, сначала находят 1% делением исходного числа на 100, а затем умножают результат на количество процентов; для 15% это значит найти 1% и взять его 15 раз. Иногда быстрее сразу умножить на процентную дробь, а знакомые проценты заменить простыми долями: 50% — это половина, 25% — четверть.

Ответ обязательно проверяют по смыслу. Процент меньше 100% должен давать часть меньше исходного числа, а чем больше процент, тем больше найденная часть. Например, 15% от 2400 не может быть ни 2400, ни больше 2400; результат 360 выглядит разумно, потому что это немного меньше одной пятой числа.

Проценты, обыкновенные и десятичные дроби

Таблица помогает быстро заменить процент обыкновенной или десятичной дробью. Сначала найдите нужный процент в первом столбце, затем выберите удобную запись из двух других столбцов. Например, для 25% можно умножить число на 0,25 или сразу найти его четверть.

Разбор задач

Найти 1% от 600

Нужно найти одну сотую часть числа 600. Поскольку 1% = 1/100, достаточно разделить исходное число на 100. Такой способ прямо использует смысл слова «процент».

1. Записываем: 1% от 600 = 600 : 100.
2. Выполняем деление: 600 : 100 = 6.
3. Проверяем: 6 — это одна из 100 равных частей числа 600.

Ответ: 1% от 600 равен 6.

Найти 25% от 80

Искомая величина — часть числа 80, а не само число процентов. Переведём 25% в десятичную дробь: 25% = 0,25. Можно также заметить, что 25% = 1/4, поэтому результат должен быть четвертью числа 80.

1. Заменяем проценты дробью: 25% = 0,25.
2. Умножаем исходное число на процентную дробь: 80 · 0,25 = 20.
3. Проверяем другим способом: 80 : 4 = 20.

Ответ: 25% от 80 равен 20.

Задача о библиотеке

В библиотеке 2400 книг — это целое количество, то есть 100%. Справочники составляют 15% от всех книг, поэтому нужно найти 15 сотых от 2400. Полученный результат сравним с общим числом: он должен быть намного меньше 2400.

1. Переводим процент: 15% = 0,15.
2. Находим часть: 2400 · 0,15 = 360.
3. Проверяем через 1%: 2400 : 100 = 24, а 24 · 15 = 360.

Ответ: в библиотеке 360 справочников. Это разумно: 15% меньше 20%, значит справочников должно быть меньше пятой части от 2400, то есть меньше 480.

Типичные ошибки

Иногда считают, что 1% равен 1/10. Так происходит, если путают одну сотую с одной десятой. Проверьте себя записью: 1% = 1/100 = 0,01, а 1/10 = 10%.

При переводе процентов в десятичную дробь некоторые делят на 10 вместо 100. Из-за этого 50% ошибочно превращают в 5, хотя половина числа должна записываться как 0,5. Для проверки используйте известный факт: 50% = 1/2 = 0,5.

Нельзя находить процент сложением исходного числа и числа процентов. Процентная дробь показывает множитель: например, 20% от 50 — это 50 · 0,2, а не 50 + 20. Если процент меньше 100%, результат должен быть частью исходного числа.

Ещё одна ошибка — получить ответ и не сравнить его с условием. Ученик может правильно умножить числа, но не заметить, что результат больше целого при проценте меньше 100%. Оцените ответ приблизительно или разделите найденную часть на целое и проверьте, получается ли нужный процент.

Связь с другими темами

Для работы с процентами нужны навыки обращения с обыкновенными и десятичными дробями, а также деление на 100 и умножение десятичной дроби на натуральное число. Если эти действия выполняются уверенно, перевод процентов и вычисление части становятся последовательностью простых шагов.

Проценты встречаются в задачах о скидках, налогах, составе величин и изменении цен. Умение находить процент от числа помогает понять, сколько денег сэкономили, какую долю вещества составляет компонент или насколько изменилась стоимость товара.

Что запомнить

• 1% = 1/100 = 0,01.
• 100% — это всё исходное число.
• Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно разделить их на 100.
• Чтобы найти p% от числа a, вычисляют a · p/100.
• Чтобы найти 1% числа, его делят на 100.
• Ответ проверяют по смыслу: он должен быть соответствующей частью исходного числа.