13.2 Нахождение числа по его процентам

Определения и обозначения

Процент — одна сотая часть числа, обозначаемая знаком %. Например, 1% от целого означает одну из ста равных частей этого целого. Это понятие помогает описывать доли величин, не зная заранее, как именно поделено целое.

Процент от числа — величина, равная указанной доле этого числа. Так, чтобы найти 20% числа, нужно взять двадцать сотых от него. Это понятие нужно, когда известны целое и доля, а требуется вычислить соответствующую часть.

Число по его процентам — исходное целое число, которое находят по известным процентам и соответствующей им части. Например, если известны 30% некоторого количества, можно восстановить всё количество. Здесь ищут не часть от целого, а само целое.

Процентное значение — часть числа, соответствующая заданному количеству процентов. Если 25% книги — это 40 страниц, то 40 страниц являются процентным значением. Оно связывает долю, выраженную процентами, с конкретной величиной.

Как это устроено

Знак % означает «из ста», поэтому 1% записывается дробью 1/100. Если нужно взять p процентов, берут p таких сотых, то есть получают дробь p/100. Например, 35% = 35/100 = 0,35. Такая запись удобна, потому что позволяет выполнять вычисления с процентами как с обычными дробями.

Пусть p% неизвестного числа равны a, а само число обозначено x. Доля p% от целого равна p/100, поэтому соответствующая часть равна (p/100) · x. По условию эта часть равна a, значит, получается равенство (p/100) · x = a. Оно переводит задачу словами в уравнение.

Чтобы найти x, нужно разделить обе части равенства на p/100. Это обратное действие к умножению: если доля целого дала известную часть, деление на эту долю возвращает целое. Поэтому x = a : (p/100). Например, если 25% числа равны 10, то целое равно 10 : 0,25 = 40.

Вычисления можно выполнять по простому алгоритму. Сначала переведи заданные проценты в десятичную дробь, затем раздели на неё известную часть. После этого проверь ответ: умножь найденное число на процентную долю и сравни результат с условием. Проверка помогает заметить ошибку в переводе процентов или делении.

Если задано меньше 100%, процентная доля меньше единицы. Чтобы получить известную часть, целое умножили на число меньше единицы, поэтому часть стала меньше целого. Значит, при восстановлении числа оно должно оказаться больше известной части. Это простой способ проверить, разумен ли ответ.

Нахождение числа по его процентам

Таблица подсказывает, как перейти от условия к вычислению. Сначала определи, сколько процентов составляет известная часть, и запиши эту долю дробью или десятичным числом. Затем используй соответствующую формулу и проверь ответ обратным действием.

Разбор задач

Задача 1. 15% числа равны 45. Найдите это число. Сначала определим, что ищется целое, а число 45 — только его часть. Процентную долю 15% запишем десятичной дробью, а затем разделим известную часть на эту долю.

1. Переводим проценты: 15% = 15/100 = 0,15.
2. Обозначаем неизвестное число через x. По условию 0,15 · x = 45, поэтому x = 45 : 0,15 = 300.
3. Проверяем: 0,15 · 300 = 45, как и сказано в условии.

Ответ: 300.

Задача 2. В книге прочитано 28 страниц, что составляет 35% всей книги. Сколько страниц в книге? Целое здесь — число страниц во всей книге, а 28 страниц соответствуют только 35% этого целого. Значит, обозначим общее число страниц через x и найдём его по известной части.

1. Переводим 35% в десятичную дробь: 35% = 0,35.
2. Составляем равенство 0,35 · x = 28. Делим известную часть на долю: x = 28 : 0,35 = 80.
3. Проверяем: 35% от 80 равны 0,35 · 80 = 28. Ответ больше 28, что подходит для части меньше 100%.

Ответ: 80 страниц.

Задача 3. После скидки 20% товар стоит 960 рублей. Найдите первоначальную цену. Нельзя считать, что 960 рублей — это 20%: такая скидка уменьшает цену, но не задаёт стоимость после скидки. После снижения на 20% остаётся 100% − 20% = 80% первоначальной цены.

1. Переводим 80% в десятичную дробь: 80% = 0,8.
2. Обозначаем первоначальную цену через x. Получаем 0,8 · x = 960, поэтому x = 960 : 0,8 = 1200.
3. Проверяем: 20% от 1200 равны 240 рублей, а 1200 − 240 = 960.

Ответ: 1200 рублей.

Типичные ошибки

Первая ошибка — делить известную часть на число процентов, например 45 : 15. Так делают, когда забывают, что 15% — это не 15 целых, а 15 сотых. Сначала переведи проценты в дробь: 15% = 0,15; затем проверь результат умножением на 0,15.

Вторая ошибка — умножать известную часть на процентную долю. Такое действие находит процент от уже известного числа, а здесь требуется восстановить целое, поэтому нужно делить. Для проверки подставь ответ в выражение «доля · целое»: результат должен совпасть с известной частью.

Третья ошибка — принять известную часть за 100%. Но если условие говорит, что 28 страниц — это 35% книги, все 100% — это книга целиком, а не прочитанные страницы. Перед вычислением обозначь неизвестное целое буквой x и запиши, какой процент от него составляет известная величина.

Четвёртая ошибка — не проверить ответ и не заметить, что он меньше известной части, хотя задано меньше 100%. Такое число не может быть целым: часть от него должна быть меньше него самого. Найди заданный процент от ответа и сравни с условием; при проценте меньше 100% целое должно быть больше части.

Связь с другими темами

Для решения полезно понимать, что означает процент, уметь переводить проценты в обыкновенные и десятичные дроби и решать уравнения вида a · x = b. Нахождение числа по процентам связано с нахождением процентов от числа: в одном случае известны целое и доля, в другом — часть и доля. Этот способ встречается в задачах о скидках и наценках, составе вещества, успеваемости и статистических данных. Во всех таких задачах важно определить, от какой величины считают проценты.

Что запомнить

• p% = p/100.
• Чтобы найти число по его процентам, известную часть делят на соответствующую процентную долю.
• Если p% числа равны a, то x = a : (p/100).
• Процентную долю можно записать обыкновенной или десятичной дробью.
• При проценте меньше 100% целое число больше своей известной части.
• Результат полезно проверять вычислением заданного процента от найденного числа.