§ 12. Среднее арифметическое

Определения и обозначения

Среднее арифметическое нескольких чисел — это частное от деления суммы этих чисел на их количество. Например, для чисел 3, 5 и 7 нужно найти (3 + 5 + 7) : 3. Такое число помогает заменить несколько значений одной величиной, показывающей их равную долю.

Набор данных — это группа чисел, описывающих результаты наблюдений или измерений. Если значения обозначить a₁, a₂, ..., aₙ, то среднее арифметическое записывают так: (a₁ + a₂ + ... + aₙ) : n. Буква n показывает количество чисел, поэтому по записи сразу видно, на что делить сумму.

Равномерное распределение суммы означает, что общую сумму мысленно делят поровну между всеми значениями. Например, 24 предмета можно распределить между 4 группами по 6 предметов, значит, 6 — их среднее арифметическое. Такой смысл помогает понять формулу не как набор действий, а как поиск равной доли.

Как это устроено

Сначала числа складывают, потому что каждое из них вносит свой вклад в общий результат. Если пропустить хотя бы одно значение, общая сумма станет другой и среднее исказится. Поэтому при сложении удобно двигаться по набору слева направо и отмечать уже учтённые числа.

Сумму делят именно на количество чисел, потому что нужно узнать долю, приходящуюся на одно значение. Если 30 единиц распределить между 5 числами, каждому достанется 30 : 5 = 6. Делитель здесь показывает не последнее число в записи, а число всех слагаемых.

Чтобы найти среднее арифметическое, сначала выпиши все значения, затем сложи их, посчитай количество и раздели сумму на это количество. После вычисления можно выполнить обратное действие: умножить найденное среднее на количество чисел. Если получилась исходная сумма, вычисление согласуется с формулой.

Если одно число увеличить на d, общая сумма увеличится на d, а количество значений останется прежним. Поэтому среднее увеличится на d : n, где n — число элементов набора. При уменьшении одного значения на d среднее уменьшится на d : n; остальные числа на этот результат напрямую не влияют.

Среднее арифметическое может не совпадать ни с одним исходным числом, потому что оно является равной долей общей суммы, а не обязательно отдельным значением. Кроме того, одно очень большое или очень маленькое число заметно меняет среднее. Поэтому среднее иногда плохо описывает то, какое значение встречается в наборе чаще всего.

Нахождение среднего арифметического

В таблице сначала проверь набор чисел и сосчитай его элементы. Затем найди сумму и раздели её на количество значений. По последней строке можно заметить влияние большого числа 15: оно подняло среднее выше большинства остальных чисел.

Разбор задач

Задача 1

Найди среднее арифметическое чисел 4, 7 и 10. В наборе три значения, поэтому сумму нужно разделить на 3. Выполним действия последовательно, не пропуская ни одного числа.

1. Сложим числа: 4 + 7 + 10 = 21.
2. Разделим сумму на количество чисел: 21 : 3 = 7.
3. Проверим: 7 · 3 = 21, то есть получили исходную сумму.

Ответ: 7.

Задача 2

За пять дней ученик прочитал 12, 15, 9, 14 и 10 страниц. Каждое дневное количество страниц — отдельное значение набора, а число дней равно 5. Нужно узнать не сумму прочитанных страниц, а равное количество страниц за один день.

1. Найдём общее число страниц: 12 + 15 + 9 + 14 + 10 = 60.
2. Разделим общую сумму на пять дней: 60 : 5 = 12.
3. Проверим результат: 12 · 5 = 60 страниц.

Ответ: в среднем ученик читал 12 страниц в день.

Задача 3

Среднее арифметическое четырёх чисел равно 18, три числа — 12, 20 и 17. Сначала восстановим сумму всех четырёх чисел по известному среднему. Затем из неё вычтем известные слагаемые, чтобы осталось только неизвестное число.

1. Найдём общую сумму: 18 · 4 = 72.
2. Сложим известные числа: 12 + 20 + 17 = 49.
3. Вычтем их из общей суммы: 72 − 49 = 23.
4. Проверим: (12 + 20 + 17 + 23) : 4 = 72 : 4 = 18.

Ответ: четвёртое число равно 23.

Типичные ошибки

Иногда сумму делят на число, стоящее последним в записи, например на 10 в наборе 4, 7, 10. Ошибка появляется из-за невнимательности к смыслу делителя: он показывает количество чисел, а не их последнее значение. Проверь себя, пересчитав все элементы набора.

При сложении можно забыть одно число или учесть его дважды. Тогда найденная сумма уже не является общей суммой набора, хотя дальнейшее деление выполнено правильно. Отметь каждое значение после сложения и сравни количество учтённых слагаемых с количеством чисел.

Число посередине упорядоченного набора иногда принимают за среднее арифметическое. Это другой способ описывать данные, а среднее находят только через сумму и количество значений. Для проверки выполни формулу, а не выбирай число по его положению.

Среднее не обязано быть одним из исходных чисел. Оно может оказаться дробным или располагаться между значениями набора, поэтому отсутствие такого числа среди данных не означает ошибку. Проверь результат умножением среднего на количество чисел.

Связь с другими темами

Для нахождения среднего нужны навыки сложения чисел и деления суммы на натуральное число. Если числа десятичные, пригодятся правила сложения и деления десятичных дробей. Ошибки в этих действиях сразу повлияют на среднее.

Среднее арифметическое используют при анализе результатов измерений и статистических данных. По нему можно сравнивать среднее число страниц, среднюю температуру или средний результат работы. Однако одно необычно большое или маленькое значение способно заметно изменить итог.

Позже среднее значение встретится в статистике и задачах на среднюю скорость. В каждой такой задаче нужно внимательно определить, какие величины образуют набор и что именно требуется усреднить. Нельзя автоматически складывать любые числа из условия.

Что запомнить

• Чтобы найти среднее арифметическое, сложи все числа.
• Раздели полученную сумму на количество чисел.
• Каждое число набора учитывается один раз.
• Среднее арифметическое может не совпадать ни с одним числом набора.
• Если среднее арифметическое и количество чисел известны, их произведение равно сумме чисел.