42. Измерение углов. Транспортир 

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом; общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Лучи расходятся от одной точки, словно створки, и образуют между собой раскрытие. Понимание, где вершина и где стороны, помогает правильно приложить транспортир и определить, какой угол нужно измерить.

Градус — единица измерения углов; один градус составляет одну девяностую часть прямого угла. Прямой угол равен 90°, поэтому его можно мысленно разделить на 90 одинаковых маленьких углов. Градусы нужны, чтобы выражать величину угла числом и сравнивать разные углы.

Градусная мера угла — число, показывающее, сколько градусов содержит угол; её записывают числом с символом °. Например, запись 65° означает, что угол содержит 65 градусов. Такая запись позволяет точно сообщить величину угла, а не только сказать, что он выглядит маленьким или широким.

Транспортир — чертёжный инструмент для измерения и построения углов; на нём нанесена шкала в градусах. На шкале есть отметки, с помощью которых можно определить величину уже нарисованного угла или отложить нужную. Транспортир нужен, когда угол требуется измерить точно или построить по заданной градусной мере.

Как это устроено

Угол измеряют, сравнивая его с единичным углом в один градус: градусная мера показывает, сколько таких единиц укладывается в угол. Это похоже на измерение длины линейкой, только вместо отрезков мы сравниваем раскрытие между лучами. Если углы одинаково раскрыты, то и их градусные меры равны, даже если стороны нарисованы по-разному.

Чтобы измерить угол, центр транспортира совмещают с его вершиной, а нулевую отметку — с одной стороной. Центр задаёт точку, вокруг которой раскрываются стороны, поэтому при смещении инструмента измеряться будет уже не тот угол. Когда ноль совпал со стороной, другая сторона указывает на шкале, насколько угол раскрыт.

На транспортире часто нанесены две шкалы, которые отсчитываются в противоположных направлениях. Это позволяет располагать инструмент так, чтобы ноль оказался у любой выбранной стороны угла. Начинать отсчёт нужно именно от того нуля, который совпадает со стороной: иначе можно прочитать число с другой шкалы и получить неверный результат.

Чтобы построить угол заданной величины, сначала проводят луч — будущую первую сторону. Затем совмещают с ним нулевую отметку транспортира, находят на подходящей шкале нужное деление и ставят отметку. Второй луч проводят из общей вершины через эту отметку: так он проходит именно в направлении, соответствующем заданной градусной мере.

Градусные меры помогают различать виды углов, потому что показывают их раскрытие по сравнению с прямым и развёрнутым углами. Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°, а развёрнутый равен 180°. Сравнение с этими границами позволяет назвать вид угла, не полагаясь только на то, как он выглядит на чертеже.

Виды углов и их градусные меры

Сначала определи градусную меру угла, а затем найди в таблице подходящий промежуток или точное значение. Для острого и тупого угла полезно сравнить число с 90°, а для развёрнутого — проверить, равно ли оно 180°. Таблица помогает назвать вид угла даже тогда, когда на рисунке он выглядит непривычно.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке дан угол. Определите его градусную меру с помощью транспортира.

Число нужно считывать в точке, где вторая сторона угла пересекает шкалу. До этого важно правильно расположить транспортир: если вершина или первая сторона не совпадут с нужными отметками, шкала покажет неверное значение. Сам рисунок в условии не задан, поэтому результат измерения зависит от показанного на нём угла.

1. Найди вершину угла и обе его стороны.
2. Помести центр транспортира точно на вершину, а нулевую отметку — на одну из сторон.
3. Выбери шкалу, которая начинается от совмещённого нуля, и найди деление, через которое проходит вторая сторона.
4. Прочитай число у этого деления и запиши его со знаком градуса.

Ответ: градусная мера равна числу градусов на выбранной шкале у второй стороны угла. Без самого рисунка назвать конкретное число нельзя.

Задача 2. Постройте угол величиной 65°.

Нужно расположить второй луч так, чтобы он прошёл через отметку 65° от первого луча. Поэтому сначала выбирают вершину и проводят первую сторону, а потом используют шкалу транспортира. Проверка по шкале помогает убедиться, что полученный угол имеет требуемую величину.

1. Поставь точку — вершину угла — и проведи из неё первый луч.
2. Совмести центр транспортира с вершиной, а нулевую отметку — с первым лучом.
3. Найди на подходящей шкале деление 65° и поставь возле него отметку.
4. Убери транспортир и проведи из вершины второй луч через отметку.

Ответ: построен угол величиной 65°. Его можно проверить, снова приложив транспортир и убедившись, что луч проходит через деление 65°.

Задача 3. Постройте угол 138° и определите, является ли он острым, прямым или тупым.

Сначала нужно построить угол заданной величины, пользуясь шкалой транспортира. Чтобы определить вид, достаточно сравнить 138° с границами видов углов: 90° и 180°. Число больше 90°, но меньше 180°, значит, угол шире прямого, однако не развёрнутый.

1. Проведи луч из выбранной точки — это будет первая сторона угла.
2. Совмести центр транспортира с вершиной, а ноль — с проведённым лучом.
3. Найди отметку 138° на шкале, которая начинается от совмещённого нуля.
4. Поставь отметку и проведи из вершины второй луч через неё.
5. Сравни 138° с 90° и 180°: 90° < 138° < 180°.

Ответ: угол 138° — тупой, так как его градусная мера больше 90° и меньше 180°.

Типичные ошибки

Если центр транспортира не совпал с вершиной, отсчёт ведётся не от точки, где сходятся стороны угла. Так случается, когда инструмент прикладывают на глаз или сдвигают во время измерения. Проверь себя: вершина должна точно лежать на отметке центра, а не рядом с ней.

Можно начать считать не по той шкале и прочитать число с противоположного конца транспортира. Эту ошибку допускают, когда смотрят только на деление у второй стороны и забывают проверить положение нуля. Перед чтением убедись, что выбранная шкала начинается с нулевой отметки, совпавшей со стороной угла.

Длинные стороны угла могут казаться шире, а короткие — уже, но их длина не определяет величину угла. Ошибка возникает, если судить только по рисунку и не измерять раскрытие между лучами. Проверь себя транспортиром: при одинаковом направлении сторон градусная мера не меняется, даже если лучи продлить или укоротить.

При построении отметка может оказаться на нужном делении, но проведённый луч не пройти через неё или выйти не из вершины. Это происходит, если после снятия транспортира теряют отметку либо начинают рисовать от другой точки. Проверь, что второй луч начинается в общей вершине и проходит точно через поставленную отметку.

Связь с другими темами

Перед измерением углов нужно уметь распознавать лучи и находить их общее начало — вершину. Также важно различать стороны угла: именно одну из них совмещают с нулевой отметкой транспортира. Эти знания помогают правильно расположить инструмент и понять, какую фигуру предстоит измерить.

Измерение углов пригодится при построении геометрических фигур, потому что точные углы помогают правильно расположить их стороны. В дальнейшем это умение понадобится при изучении треугольников и многоугольников. Умение пользоваться транспортиром позволяет не только измерять углы на готовых чертежах, но и самостоятельно строить фигуры.

Что запомнить

• Углы измеряют в градусах.
• На транспортире центр совмещают с вершиной угла.
• Отсчёт ведут от нулевой отметки, совпадающей со стороной угла.
• Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°.
• Тупой угол больше 90°, но меньше 180°.
• Развёрнутый угол равен 180°.