43. Круговые диаграммы 

Определения и обозначения

Круговая диаграмма — изображение состава или соотношения величин с помощью круга, разделённого на части. Например, на ней можно показать, как распределились ответы участников опроса. Такая диаграмма помогает сразу увидеть, какие части больше, а какие меньше.

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. На диаграмме сектор представляет отдельную часть данных, например число учеников, выбравших определённый вид спорта. Сравнивая сектора, можно сравнить и сами части.

Центральный угол — угол с вершиной в центре круга. Его величина определяет, насколько широким будет сектор. Этот угол нужен, чтобы точно построить часть диаграммы с помощью транспортира.

Доля величины — часть целого, выраженная дробью или процентом. Например, если из четырёх одинаковых частей выбрана одна, её доля равна ¼. Доле соответствует такая же часть полного круга, поэтому по ней можно вычислить угол сектора.

Как это устроено

Весь круг принимают за целое, потому что он изображает все данные вместе: например, всех учеников класса или все расходы семьи. Полный оборот вокруг центра составляет 360°, поэтому целому соответствует именно такой угол. Если разделить круг на сектора, они без пропусков и наложений составят те же 360°.

Чтобы найти угол сектора, долю части умножают на 360°. Причина в том, что сектор должен занимать такую же часть круга, какую данные занимают от целого. Например, если часть составляет ½ целого, её сектор занимает ½ от 360°, то есть 180°.

Чем больше доля данных, тем больше и соответствующий сектор. Это следует из прямой связи между долей и углом: при увеличении доли во столько же раз увеличивается угол. Поэтому большая часть круга наглядно обозначает большее количество или большую величину.

Для построения сначала определяют все данные и находят их общее количество. Затем вычисляют долю или угол для каждой части, проводят круг и от его центра последовательно откладывают найденные углы радиусами. В конце сектора подписывают, чтобы было понятно, какие данные они обозначают.

Готовую диаграмму читают, сравнивая размеры секторов или их углы. Если известен общий размер целого, по углу можно найти долю части: угол делят на 360°, а затем умножают результат на целое. Так диаграмма помогает не только сравнивать части, но и восстанавливать их числовые значения.

Связь данных, долей и секторов круговой диаграммы

Сначала определи, какая величина известна: доля, угол или общее количество. Затем воспользуйся соответствующей связью из таблицы. В конце проверь, что найденные части вместе дают целое.

Разбор задач

Четверть круга

На круговой диаграмме сектор чтения занимает четверть круга. Нужно найти его центральный угол. Четверть означает, что сектор составляет ¼ от полного круга, а полный круг равен 360°. Поэтому найдём ¼ от 360°.

1. Записываем долю сектора: ¼.
2. Умножаем её на полный угол: ¼ · 360° = 90°.
3. Проверяем: 90° составляет четверть от 360°.

Ответ: центральный угол сектора равен 90°.

Распределение занятий в кружке

В кружке 20 учеников: 8 занимаются футболом, 6 — плаванием, остальные — шахматами. Сначала важно выяснить, сколько учеников приходится на шахматы, а затем перевести количества в углы. Секторы должны вместе составить весь круг, поэтому проверим и итоговую сумму углов.

1. Находим число шахматистов: 20 − 8 − 6 = 6.
2. На футбол приходится 8/20 круга: 8/20 · 360° = 144°.
3. На плавание приходится 6/20 круга: 6/20 · 360° = 108°.
4. На шахматы приходится 6/20 круга: 6/20 · 360° = 108°.
5. Проверяем: 144° + 108° + 108° = 360°.

Для построения проводим круг, откладываем от центра найденные углы и подписываем секторы. Ответ: футбол — 144°, плавание — 108°, шахматы — 108°.

Масса овощей по диаграмме

Сектор овощей имеет угол 144°, а всего собрали 25 кг продуктов. Требуется узнать, какую часть всего урожая составляют овощи. Так как целому кругу соответствуют 360°, долю овощей найдём делением угла сектора на 360°. После этого умножим долю на общую массу.

1. Находим долю овощей: 144° : 360° = 0,4.
2. Умножаем её на массу всех продуктов: 0,4 · 25 = 10 кг.
3. Проверяем: 10 кг — это 0,4 от 25 кг.

Ответ: собрали 10 кг овощей.

Типичные ошибки

• Считать, что полный круг равен 100° или 180°, — ошибка: 100% обозначает целое в процентах, но угловая мера полного круга равна 360°. Иногда путают круг с развёрнутым углом, равным 180°. Проверь себя: полный оборот вокруг центра должен быть 360°.

• Вычислять угол, не учитывая долю части, — значит задать сектору неверный размер. Например, умножение всего количества объектов на 360° не даёт угол сектора. Сначала найди, какую часть целого составляют данные, и только потом умножай эту долю на 360°.

• Не проверять сумму углов опасно: можно пропустить часть данных или допустить ошибку в вычислениях. Все части диаграммы вместе составляют целый круг. Сложи найденные углы; сумма должна быть 360°.

• Число объектов, их доля и процент — разные способы описать часть. Например, 5 учеников не означают автоматически 5%: доля зависит от общего числа учеников. Чтобы проверить ответ, сначала назови целое, а затем найди, какую часть от него составляет данное значение.

Связь с другими темами

Для круговых диаграмм нужно уметь находить долю числа, работать с дробями и процентами, а также измерять и строить углы транспортиром. Такие диаграммы применяют при анализе опросов, расходов, состава объектов и других статистических данных. Они помогают быстро сравнивать части целого, если данные представлены наглядно. Эта тема также подготавливает к чтению других видов диаграмм и таблиц данных.

Что запомнить

• Весь круг соответствует целому и углу 360°.
• Каждый сектор показывает отдельную часть целого.
• Размер сектора зависит от доли изображаемой величины.
• Центральный угол сектора равен доле части, умноженной на 360°.
• Сумма углов всех секторов равна 360°.
• По диаграмме можно сравнивать части и находить их значения.
• Перед построением диаграммы нужно определить все данные и их общее количество.