2.79. Письменное деление многозначных чисел на трёхзначное число

Определения и обозначения

Трёхзначный делитель — число от 100 до 999, на которое делят многозначное число. Например, в записи 58 752 : 244 делитель — 244. Этот термин помогает сразу понять, сколько разрядов нужно учитывать при оценке частного, хотя само деление всё равно выполняется по цифрам.

Неполное делимое — часть делимого, которую на данном шаге рассматривают целиком; она должна быть не меньше делителя. Например, при делении 864 на 216 сначала рассматривают всё число 864. Неполные делимые нужны, чтобы выполнять большое деление последовательно, не пытаясь сразу найти всё частное.

Цифра частного — результат деления неполного делимого на делитель, округлённый вниз до целого числа; в частном ей соответствует определённый разряд. Если 995 делят на 244, подходящая цифра — 4, потому что 244 × 4 = 976, а 244 × 5 уже больше 995. По разряду этой цифры можно определить её вклад в итоговое частное.

Остаток — разность между неполным делимым и произведением делителя на найденную цифру частного; он меньше делителя. Например, при 995 : 244 с цифрой 4 остаток равен 995 − 976 = 19. Остаток показывает, какая часть пока не разделена, и помогает продолжить деление или проверить ответ.

Как это устроено

Деление начинают с цифр старших разрядов, потому что частное тоже строится слева направо — от больших разрядов к меньшим. Сначала берут одну цифру делимого, затем при необходимости присоединяют следующую, пока полученное число не станет не меньше делителя. Если начать с числа меньше делителя, нельзя подобрать для него положительную цифру частного. Поэтому выбирают самое короткое начало делимого, которое уже позволяет выполнить деление.

Разряд первой цифры частного определяют по разряду последней цифры первого неполного делимого. Так сохраняется разрядное положение: если первое неполное делимое заканчивается разрядом сотен, первая цифра частного относится к сотням. Это следует из того, что в первом шаге рассматривают именно эту часть делимого, а не всё число целиком. Неверный выбор разряда сдвигает остальные цифры частного и меняет значение результата.

Чтобы найти очередную цифру частного, делят неполное делимое на делитель и выбирают целое число, которое не превышает точного результата. На практике можно оценить цифру, а затем проверить её умножением: произведение делителя на цифру должно быть не больше неполного делимого. Если получилось больше, цифру уменьшают. Такой подбор нужен потому, что каждая цифра частного должна оставить после вычитания нулевой или положительный остаток.

После выбора цифры частного делитель умножают на неё, а произведение вычитают из неполного делимого. Вычитание показывает, какая часть числа осталась после выделения найденного количества делителя. Затем сносят следующую цифру исходного делимого: она присоединяется справа к остатку и образует новое неполное делимое. Так учитывается очередной разряд исходного числа и находится следующая цифра частного.

Иногда после сноса цифры полученное неполное делимое меньше делителя. Тогда ни одна положительная цифра частного не подходит, поэтому в соответствующем разряде записывают 0. Ноль нельзя пропустить: без него цифры частного сдвинутся, и получится другое число. После записи нуля сносят следующую цифру делимого, чтобы получить величину, которую уже можно разделить на делитель.

Этапы письменного деления на трёхзначное число

Пользуйтесь таблицей как порядком действий: переходите к следующему этапу после проверки предыдущего. Особое внимание уделяйте разряду цифр частного и записи нуля. В конце обязательно проверьте вычисление умножением.

Разбор задач

Вычислить 864 : 216

Первое неполное делимое состоит из всех цифр числа 864: число из первых двух цифр, 86, меньше 216. Поэтому сразу можно оценить, сколько раз 216 помещается в 864. Проверим умножением: 216 × 4 = 864. Остатка нет, значит частное найдено точно.

1. Сравниваем первые цифры делимого с делителем: 86 < 216, поэтому берём 864.
2. Подбираем цифру: 216 × 4 = 864, а значит, подходит 4.
3. Вычитаем 864 − 864 = 0 и записываем частное 4.

Ответ: 864 : 216 = 4.

Вычислить 58 752 : 244

Число 58 меньше 244, поэтому первое неполное делимое — 587. После каждого вычитания сносим следующую цифру, чтобы получить часть делимого для нового шага. В конце останется 192, а это меньше 244, значит деление завершено с остатком. Ноль в частном здесь не требуется, поскольку на каждом шаге удалось подобрать ненулевую цифру.

1. Для 587 подбираем 2: 244 × 2 = 488; вычитаем 587 − 488 = 99.
2. Сносим 5, получаем 995. Подходит 4: 244 × 4 = 976; остаток равен 19.
3. Сносим 2, получаем 192. Это меньше 244, поэтому дальше делить нельзя; записываем остаток 192.
4. Соединяем найденные цифры частного: 240.

Ответ: 58 752 : 244 = 240, остаток 192.

Вычислить 123 456 : 304 и проверить результат

Начинаем с 1234: первые три цифры 123 меньше делителя 304. После первого вычитания сносим 5, но получаем 185, а оно меньше 304. Значит, в разряде десятков частного нужен ноль; затем сносим последнюю цифру и продолжаем. Проверка должна восстановить делимое при умножении частного на делитель и прибавлении остатка.

1. Для 1234 подбираем 4: 304 × 4 = 1216; вычитаем, получаем 18.
2. Сносим 5 и получаем 185. Так как 185 < 304, записываем в частном 0.
3. Сносим 6: получаем 1856. Подходит 6, потому что 304 × 6 = 1824; остаток равен 32.
4. Частное равно 406. Проверяем: 304 × 406 = 123 424, а 123 424 + 32 = 123 456; при этом 32 < 304.

Ответ: 123 456 : 304 = 406, остаток 32.

Типичные ошибки

Если начать деление с числа цифр, которое меньше делителя, неполное делимое не позволит найти положительную цифру частного. Так бывает, когда торопятся и берут только первые цифры, не сравнив их с делителем. Проверяйте первое неполное делимое до начала вычислений: оно должно быть не меньше делителя. Если это условие не выполнено, присоедините следующую цифру делимого.

Неверно выбранный разряд первой цифры частного сдвигает всё частное. Ошибку допускают, когда записывают цифру просто рядом с делителем, не определив, какому разряду делимого соответствует первый шаг. Сверьте первую цифру частного с разрядом последней цифры первого неполного делимого. После вычисления оцените порядок результата: частное не должно оказаться необъяснимо меньше или больше ожидаемого.

Пропуск нуля в частном меняет разрядное положение следующих цифр. Это случается, если после сноса цифры ученик видит число меньше делителя и сразу сносит ещё одну цифру, забыв записать ноль. Проверьте каждый шаг: когда неполное делимое меньше делителя, в текущем разряде частного стоит 0. Затем можно продолжать со следующей цифрой делимого.

Ошибка в вычитании или при сносе цифры приводит к неверному следующему неполному делимому. Часто ошибаются из-за поспешной записи остатка или приписывают не ту цифру исходного числа. Пересчитайте вычитание и сравните результат с исходными цифрами делимого. В конце проверьте, что остаток меньше делителя, а делитель, умноженный на частное, вместе с остатком даёт делимое.

Связь с другими темами

Для письменного деления нужны таблица умножения, навыки умножения и деления многозначных чисел, а также понимание разрядного состава числа. Без этого трудно подобрать цифру частного и определить, в каком месте её записать. Если эти действия пока вызывают затруднения, полезно сначала повторить умножение и деление столбиком.

Умение делить на трёхзначное число пригодится при делении с остатком, вычислениях с многозначными числами и решении текстовых задач. В задачах деление помогает распределять предметы поровну или находить, сколько групп можно составить. Остаток показывает, что не удалось распределить на целое число равных групп.

Что запомнить

• Деление начинают со старших разрядов делимого.
• Первое неполное делимое должно быть не меньше делителя.
• Каждой цифре частного соответствует свой разряд.
• После каждой цифры частного умножают делитель и вычитают произведение.
• При необходимости очередную цифру частного записывают нулём.
• В конце остаток должен быть меньше делителя.
• Проверка: делитель умножить на частное и прибавить остаток.