2.80. Деление многозначных чисел на трёхзначное число

Определения и обозначения

Неполное делимое — часть делимого, которую делят на делитель на очередном шаге. Сначала это первые цифры числа, достаточные для начала деления, затем неполное делимое образуют из остатка и следующей снесённой цифры. Этот термин помогает видеть, какую часть числа обрабатываем сейчас, а не пытаться делить все цифры сразу.

Первая цифра частного — цифра, которую получают при делении первого неполного делимого на делитель. Её место зависит от того, сколько цифр делимого вошло в первое неполное делимое: так определяется разряд первой цифры результата. Это нужно, чтобы правильно записать частное и не изменить его значение.

Пробная цифра частного — предполагаемая цифра, которую проверяют умножением делителя на неё. Произведение сравнивают с неполным делимым: оно не должно быть больше него. Проверка нужна потому, что цифру частного часто сначала оценивают приблизительно, а затем уточняют.

Остаток при делении — разность между неполным делимым и произведением делителя на найденную цифру частного. Он показывает, какая часть неполного делимого ещё не учтена, и к нему затем сносят следующую цифру. Остаток должен быть меньше делителя: иначе можно было бы выделить ещё одну единицу частного.

Как это устроено

Деление начинают с первых цифр делимого слева, потому что именно они задают старшие разряды будущего частного. Если выбранное число меньше делителя, разделить его на делитель с получением цифры частного нельзя, поэтому к нему присоединяют следующую цифру делимого. Первое число, которое стало не меньше делителя, и будет первым неполным делимым. Так мы начинаем с подходящей части числа, не теряя разрядного порядка.

Разряд первой цифры частного определяют по месту первого неполного делимого в делимом. Например, если в него вошли первые четыре цифры пятизначного числа, то частное начинается с разряда десятков: после него в делимом остаётся одна цифра. Поэтому важно не просто записать найденную цифру, а поставить её над нужным разрядом. Если какой-то разряд частного не даёт единиц, его обозначают нулём, чтобы последующие цифры не сдвинулись.

Цифру частного выбирают так, чтобы произведение делителя на неё помещалось в неполное делимое. Можно прикинуть цифру по старшим разрядам, но это только догадка: её обязательно проверяют умножением. Если произведение оказалось больше неполного делимого, пробную цифру уменьшают и проверяют снова. Когда произведение не превышает неполное делимое, его вычитают, получая остаток на этом шаге.

После вычитания к остатку сносят следующую цифру делимого справа. Так получается новое неполное делимое, которое снова сравнивают с делителем и делят подбором цифры частного. Если после сноса число всё ещё меньше делителя, в соответствующем разряде частного записывают ноль, а затем сносят следующую цифру. Повторение этого порядка позволяет обработать все цифры делимого, сохраняя их места.

Когда цифры делимого закончились, последний остаток становится остатком всего деления. Результат можно проверить обратным действием: умножить делитель на частное и прибавить остаток. Равенство должно дать исходное делимое, потому что делимое состоит из целого числа групп делителя и оставшейся части. Остаток меньше делителя: если бы он был не меньше, в частное можно было бы добавить ещё одну группу.

Шаги деления многозначного числа на трёхзначное

Пользуйся таблицей как последовательностью действий: переходи к следующему этапу только после проверки текущего. Особенно внимательно следи за разрядом частного и тем, какую цифру сносишь. В конце выполни проверку по равенству: делитель × частное + остаток = делимое.

Разбор задач

Вычислить 864 : 216

Здесь делимое состоит из трёх цифр, а делитель — из трёх, поэтому проверим, достаточно ли всего делимого для первой части. Число 864 больше 216, значит, оно сразу становится первым неполным делимым. Нужно подобрать такую цифру частного, чтобы произведение 216 на неё не превысило 864.

1. Пробуем цифру 4: 216 × 4 = 864.
2. Произведение равно неполному делимому, поэтому вычитаем: 864 − 864 = 0.
3. Цифры делимого закончились, значит, частное равно 4, а остаток равен 0.

Ответ: 864 : 216 = 4. Проверка: 216 × 4 + 0 = 864.

Вычислить 15 624 : 372

Первые две цифры дают 15, а это меньше 372; первые три дают 156, что тоже меньше делителя. Поэтому первое неполное делимое — 1562. В нём четыре цифры, и в исходном делимом после них осталась одна цифра, значит, первая цифра частного будет в разряде десятков.

1. Подбираем цифру для 1562: 372 × 4 = 1488, а 372 × 5 = 1860, что больше 1562. Записываем 4 в разряд десятков.
2. Вычитаем: 1562 − 1488 = 74. Сносим следующую цифру делимого, 4, и получаем 744.
3. Проверяем цифру единиц: 372 × 2 = 744. Вычитаем, остаток равен 0.

Ответ: 15 624 : 372 = 42. Проверка: 372 × 42 = 15 624.

Вычислить 48 375 : 325 и проверить результат

Первые две цифры, 48, меньше 325, поэтому начинаем с числа 483. Оно подходит как первое неполное делимое, а первая цифра частного будет в разряде сотен, потому что в делимом после 483 остаются ещё две цифры. Далее каждое вычитание должно завершаться сносом следующей цифры.

1. Для 483 подходит цифра 1: 325 × 1 = 325. Остаток: 483 − 325 = 158; сносим 7, получаем 1587.
2. Для 1587 подходит 4: 325 × 4 = 1300, а × 5 уже больше. Остаток: 1587 − 1300 = 287; сносим 5, получаем 2875.
3. Для 2875 подходит 8: 325 × 8 = 2600. Остаток: 2875 − 2600 = 275, а цифры делимого закончились.
4. Собираем цифры частного по порядку: 148. Проверяем: 325 × 148 = 48 100; 48 100 + 275 = 48 375, причём 275 < 325.

Ответ: 48 375 : 325 = 148, остаток 275.

Типичные ошибки

Начинают делить не с того неполного делимого и ошибаются в разряде первой цифры частного. Обычно это происходит, когда забывают сначала сравнить первые цифры делимого с делителем. Проверь себя: первое неполное делимое должно быть не меньше делителя, а место первой цифры частного должно соответствовать его разряду.

Иногда выбирают слишком большую цифру частного, и произведение делителя на неё оказывается больше неполного делимого. Это случается, если полагаться только на приблизительную оценку и не проверять её умножением. Перед вычитанием обязательно посчитай произведение; если оно больше, уменьши пробную цифру.

Если очередное неполное делимое меньше делителя, можно забыть записать ноль в частном. Тогда последующие цифры частного сдвигаются, и результат становится неверным, хотя дальнейшие вычисления могли быть выполнены правильно. Сверяй разряд каждого шага и записывай ноль, когда на этом месте частное не получает единиц.

Ошибки возникают и при сносе следующей цифры или вычитании произведения. Причина часто в спешке: цифру сносят не ту или неправильно выполняют вычитание в столбик. Проверяй, что после каждого вычитания использовал очередную цифру делимого; в конце проверь равенство делитель × частное + остаток = делимое и условие остаток < делитель.

Связь с другими темами

Для письменного деления на трёхзначное число нужны навыки деления на однозначное и двузначное число, умножения и вычитания в столбик. Разрядный состав натуральных чисел помогает правильно ставить цифры частного и понимать, почему иногда требуется ноль. Связь деления с умножением лежит в основе проверки: делитель, умноженный на частное, вместе с остатком даёт делимое. Этот приём пригодится при делении натуральных чисел с остатком и проверке письменных вычислений.

Что запомнить

• Деление начинают с первых цифр делимого, образующих число не меньше делителя.
• Первая цифра частного показывает разряд результата.
• Каждую цифру частного проверяют умножением делителя на неё.
• После вычитания сносят следующую цифру делимого.
• Нули в частном сохраняют правильное значение разрядов.
• При делении с остатком остаток меньше делителя.
• Проверка: делитель умножить на частное и прибавить остаток.