"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Арифметические действия над числами — это сложение, вычитание, умножение и деление. Они нужны, чтобы находить суммы, разности, произведения и частные, преобразовывать выражения и решать задачи. Главное — понимать связь обратных действий, правильно учитывать знаки положительных и отрицательных чисел, соблюдать порядок действий и проверять полученный результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, при котором два или несколько чисел объединяются. Его результат называют суммой, а исходные числа — слагаемыми: 7 + 5 = 12. Это действие помогает находить общее количество или величину.
Вычитание — действие, обратное сложению: по уменьшаемому и вычитаемому находят разность. В записи 15 − 8 = 7 число 15 — уменьшаемое, 8 — вычитаемое, 7 — разность. С помощью вычитания находят, на сколько одно число больше другого.
Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых. В записи 4 · 6 = 24 числа 4 и 6 — множители, а 24 — произведение. Это удобно, когда одна и та же величина повторяется несколько раз.
Деление — действие, обратное умножению: делимое делят на делитель и получают частное. В записи 24 : 6 = 4 число 24 — делимое, 6 — делитель, 4 — частное. Делить на нуль нельзя, потому что не существует определённого числа, которое при умножении на нуль дало бы ненулевое делимое.
Сложение и вычитание взаимно обратны, потому что одно действие отменяет другое: если a + b = c, то c − b = a. Поэтому результат сложения можно проверить вычитанием одного из слагаемых. Аналогично, умножение и деление связаны равенствами a · b = c, c : b = a и c : a = b, если делители не равны нулю.
Знак при действиях с положительными и отрицательными числами показывает направление изменения величины. При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают их модули и сохраняют знак, а при разных знаках из большего модуля вычитают меньший и берут знак числа с большим модулем. При умножении и делении одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный: это связано с тем, что два изменения направления взаимно компенсируют друг друга.
При сложении и вычитании обыкновенных дробей сначала приводят их к общему знаменателю, затем складывают или вычитают числители. При умножении перемножают числители и знаменатели, а при делении умножают первую дробь на дробь, обратную второй. Десятичные числа складывают и вычитают с выравниванием запятых, а при умножении и делении используют правила записи разрядов.
Порядок действий нужен, чтобы одно выражение имело однозначный результат. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, после этого сложение и вычитание слева направо. Умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания, потому что они описывают повторение или распределение величин внутри более крупного действия.
Проверка помогает обнаружить ошибку без повторения всего решения. Сложение проверяют вычитанием, умножение — делением, а деление — умножением. Кроме того, можно оценить пример приблизительно и заранее определить, каким должен быть знак ответа.
Таблица показывает, как называются элементы каждой записи и какое правило нужно применить. Перед вычислением найдите действие и его компоненты, а затем проверьте ограничения, особенно при делении. Последняя строка напоминает, в каком порядке разбирать сложное выражение.
| Действие | Обозначение | Компоненты | Результат | Основное правило и ограничения |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | a + b | слагаемые | сумма | Можно менять слагаемые местами: a + b = b + a. |
| Вычитание | a − b | уменьшаемое, вычитаемое | разность | a − b = a + (−b); перемена мест меняет результат. |
| Умножение | a · b | множители | произведение | Знаки одинаковы — результат положительный, разные — отрицательный. |
| Деление | a : b | делимое, делитель | частное | b ≠ 0; знаки определяются как при умножении. |
| Порядок действий в выражении | ( ), ·, :, +, − | действия выражения | значение выражения | Скобки, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. |
В выражении нет скобок, умножения и деления, поэтому действия выполняются слева направо. Сначала складываем отрицательное и положительное число, сравнивая их модули. Затем из полученного результата вычитаем 35.
Ответ: −26. Проверка: −26 + 35 = 9, значит последнее вычитание выполнено верно.
Сначала работаем в скобках, затем умножаем и только после этого прибавляем 2,5. Для вычитания дробей нужен общий знаменатель 12. Такой выбор удобен, потому что после умножения дробь сократится.
Ответ: 1,5. Знак можно оценить заранее: разность дробей немного меньше нуля, а прибавление 2,5 должно дать положительное число.
Внешнее вычитание выполняется последним, поэтому сначала вычисляем частное и значение квадратных скобок. Внутри скобок умножение 3 · (−1,5) выполняется раньше вычитания. После получения ответа проверим основные действия обратными операциями.
Ответ: −14,5. Проверка: −8 + 6,5 = −1,5 не подходит, поскольку исходное действие было −8 − 6,5. Правильная обратная проверка результата: −14,5 + 6,5 = −8, то есть частное восстановлено.
Выполнение всех действий слева направо без учёта приоритета приводит к неверному результату. Так часто делают, когда выражение выглядит длинным и знаки читаются по очереди. Отметьте скобки, затем умножение и деление, а потом сложение и вычитание.
Ошибка в знаке возникает, если забыть сравнить знаки чисел или их модули. При сложении чисел с разными знаками знак берут у большего модуля, а при умножении и делении проверяют одинаковость знаков. Полезно проговорить правило до вычисления.
При сложении и вычитании дробей нельзя складывать или вычитать знаменатели. Знаменатель показывает размер долей, поэтому сначала доли делают одинаковыми, а меняют только числители. Проверка: результат должен быть записан с тем же общим знаменателем.
Деление на нуль иногда считают допустимым, а нулевой результат деления путают с делением на нуль. Нуль может быть частным только при делении нуля на ненулевое число: 0 : 5 = 0. Перед делением проверьте, что делитель не равен нулю.
Для уверенных вычислений нужны свойства чисел, правила действий с дробями, положительными и отрицательными числами, а также порядок действий. Эти знания помогают переходить от отдельных примеров к преобразованию выражений.
Арифметические действия используются при преобразовании выражений, решении уравнений и текстовых задач. Они нужны также при работе с величинами, отношениями и процентами, где один неверный знак или порядок действия меняет весь ответ.
Почему при вычитании отрицательного числа получается сложение?
Вычитание числа означает прибавление противоположного ему числа: a − b = a + (−b). Если b отрицательно, то его противоположное число положительно, поэтому a − (−b) = a + b.
Как определить знак результата при умножении и делении?
Сначала определите, одинаковы или различны знаки чисел. При одинаковых знаках результат положительный, а при разных — отрицательный. Нуль при умножении на любое число даёт нуль, но делить на нуль нельзя.
Можно ли менять местами слагаемые и множители?
Да, для сложения и умножения действует переместительное свойство: a + b = b + a и ab = ba. Для вычитания и деления менять местами числа нельзя, потому что результат обычно изменится.
Почему нельзя делить на нуль?
Деление a : b означает поиск такого числа, которое при умножении на b даёт a. Нулю нельзя подобрать множитель для получения ненулевого числа, а выражение 0 : 0 не имеет единственного результата.
Как не перепутать порядок действий в сложном выражении?
Сначала выполняйте действия в скобках, затем умножение и деление слева направо, а после этого сложение и вычитание слева направо. Полезно отмечать выполненные действия и проверять, не осталось ли скобок или умножения.
2.81—2.83. Арифметические действия над числами
