2.84. Круговая диаграмма

Определения и обозначения

Круговая диаграмма — круг, разделённый на секторы, размеры которых показывают доли целого. Чем больше часть величины, тем больше сектор. Такая диаграмма помогает быстро сравнивать части одного целого.

Сектор круга — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Его можно представить как «кусок пирога», вершина которого находится в центре круга. Именно секторами на диаграмме изображают отдельные части величины.

Центральный угол — угол сектора с вершиной в центре круга. Его величина определяет, какую часть полного круга занимает сектор. Обозначим центральный угол буквой α.

Доля величины — отношение части к целому, записанное дробью, десятичным числом или процентом. Например, 6 учеников из 24 составляют долю 6/24 = 1/4 = 25%. Доля нужна, чтобы связать реальное количество с размером сектора.

Как это устроено

Вся величина на круговой диаграмме изображается полным кругом, потому что круг принимают за единое целое. Полный оборот вокруг его центра равен 360°, поэтому 360° соответствуют всей величине. В процентах это 100%, а в виде доли — число 1.

Если известна доля части, её центральный угол находят умножением на 360°. Это объясняется тем, что доля показывает, какую часть полного оборота занимает сектор. Например, доле 1/4 соответствует 360° · 1/4 = 90°, то есть четверть круга.

По центральному углу долю находят делением угла сектора на 360°: a = α/360°. После этого можно узнать значение части: общую величину умножают на найденную долю. Например, сектор 90° занимает долю 90/360 = 1/4, значит, он показывает четверть всех объектов.

Чтобы построить диаграмму, сначала определяют, что принимается за целое. Затем для каждой части находят долю и центральный угол, а после этого проводят круг и откладывают углы от одного радиуса. Сектора подписывают или обозначают легендой, чтобы было понятно, какой части соответствует каждый из них.

Сумма долей обязана быть равна 1, потому что части вместе составляют целое. По той же причине сумма процентов равна 100%, а сумма центральных углов — 360°. Если равенства не выполняются, значит, часть данных пропущена или в вычислениях допущена ошибка.

Связь доли, процента и центрального угла

Найдите в таблице известное представление части и используйте соответствующую строку. Если дана доля, умножайте её на 360°, а если дан угол, делите его на 360°. Процент можно перевести в долю делением на 100, а долю в процент — умножением на 100%.

Разбор задач

Задача 1

В классе 24 ученика, из них 6 занимаются спортом. Нужно определить долю спортсменов и угол соответствующего сектора. Сначала сравним число спортсменов со всем числом учеников, а затем переведём долю в градусы.

1. Находим долю спортсменов: 6/24 = 1/4.
2. Переводим долю в центральный угол: 360° · 1/4 = 90°.
3. При необходимости находим процент: 1/4 · 100% = 25%.

Ответ: доля спортсменов равна 1/4, или 25%. Центральный угол сектора спортсменов должен быть равен 90°, потому что это четверть полного круга.

Задача 2

Сектор чтения на круговой диаграмме имеет угол 90°, а всего в библиотеке 320 книг. Требуется узнать, сколько книг относится к чтению. Сначала определим долю сектора по его углу, затем найдём часть от общего количества.

1. Находим долю книг для чтения: 90°/360° = 1/4.
2. Умножаем общее число книг на долю: 320 · 1/4 = 80.
3. Проверяем: 80 книг составляют четверть от 320, значит, угол 90° подходит.

Ответ: чтению относятся 80 книг. Угол 90° показывает четверть всего фонда библиотеки.

Задача 3

Расходы семьи показаны секторами: питание — 144°, транспорт — 72°, коммунальные услуги — 54°. Остальные расходы составляют неизвестный сектор, а общий бюджет равен 50 000 рублей. Найдём сначала оставшийся угол, затем долю и сумму.

1. Складываем известные углы: 144° + 72° + 54° = 270°.
2. Находим угол остальных расходов: 360° − 270° = 90°.
3. Находим долю: 90°/360° = 1/4.
4. Вычисляем сумму: 50 000 · 1/4 = 12 500 рублей.

Ответ: остальные расходы занимают сектор 90°, их доля равна 1/4, или 25%. На них приходится 12 500 рублей.

Типичные ошибки

Используют 180° вместо 360°. Так происходит, когда полный круг путают с развёрнутым углом, который равен 180°. Проверьте себя: круг должен соответствовать полному обороту, поэтому сумма его секторов равна 360°.

Берут 360° без умножения на долю. В этом случае для любой части получается целый круг, потому что доля фактически не используется. Запишите сначала формулу α = 360° · a и убедитесь, что при a < 1 угол меньше 360°.

Путают часть и целое. Если в отношении поставить целое сверху, доля может оказаться больше 1, а процент — больше 100%. Проверяйте запись: в доле на первом месте должна стоять нужная часть, а на втором — вся величина.

Не проверяют сумму секторов. Отдельные вычисления могут выглядеть верно, но пропущенная часть нарушит всю диаграмму. Сложите доли, проценты или углы и сравните результат соответственно с 1, 100% или 360°.

Связь с другими темами

Для работы с круговой диаграммой нужно уметь находить долю от числа, сокращать дроби и переводить дроби в проценты. Также пригодятся действия с величинами и округление результатов, если данные не дают целого числа.

Тема связана с обыкновенными и десятичными дробями, процентами, отношениями и пропорциями. Центральный угол становится способом наглядно представить отношение части к целому.

Круговые диаграммы используют при анализе статистики и результатов опросов. С их помощью удобно показывать распределение семейных расходов, состав класса или доли разных ответов.

Что запомнить

• Полный круг соответствует 100% и углу 360°.
• Центральный угол сектора равен доле от целого, умноженной на 360°.
• Доля части равна отношению этой части к целому.
• Процент — это доля, выраженная в сотых долях.
• Сумма долей всех секторов равна 1.
• Сумма процентов равна 100%, а сумма углов секторов — 360°.