"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Арифметические действия помогают получать новые числа и находить неизвестные значения. Сложение и умножение объединяют числа, а вычитание и деление позволяют восстановить неизвестный компонент обратного действия. Для точных и удобных вычислений используют свойства действий и соблюдают установленный порядок: сначала скобки, затем умножение и деление, после — сложение и вычитание. Знание этих правил помогает считать устно, упрощать выражения и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Арифметическое действие — действие, с помощью которого из чисел получают новое число. Основные действия — сложение (+), вычитание (−), умножение (·) и деление (:). Их знаки показывают, какую операцию нужно выполнить, а названия и правила помогают правильно читать запись и понимать, как связаны числа в выражении.
Сумма — результат сложения, которое записывают знаком +. Числа, которые складывают, называются слагаемыми: в записи 8 + 5 = 13 числа 8 и 5 — слагаемые, а 13 — сумма. Это название позволяет не путать исходные числа с результатом действия.
Разность — результат вычитания, записываемого знаком −. Первое число называют уменьшаемым, а второе — вычитаемым: в записи 14 − 6 = 8 число 14 уменьшают на 6. Эти названия помогают помнить, что вычитаемое отнимают от уменьшаемого, а не наоборот.
Произведение — результат умножения, а числа, которые перемножают, называются множителями. Частное — результат деления; число, которое делят, — делимое, а число, на которое делят, — делитель. Например, в 3 · 4 = 12 произведение равно 12, а в 12 : 4 = 3 частное равно 3.
Сложение объединяет количества: если к одному числу прибавить другое, получится их общая величина. Умножение удобно, когда одно и то же число складывают несколько раз, например 4 · 3 означает три группы по четыре. Вычитание и деление помогают действовать в обратном направлении: по результату и одному известному числу находить неизвестное. Поэтому сложение обратно вычитанию, а умножение — делению.
Вычитание можно заменить сложением противоположного числа: a − b = a + (−b). Противоположные числа при сложении дают ноль, поэтому прибавление −b даёт тот же результат, что удаление b. Деление при делителе b, не равном нулю, заменяют умножением на обратное число: a : b = a · 1/b. Числа b и 1/b при умножении дают единицу, что и объясняет такую замену; при b = 0 обратного числа нет.
Ноль и единица играют особую роль. Прибавление нуля не меняет число, потому что к нему не добавляется никакое количество; умножение на единицу тоже сохраняет число. При умножении на ноль результат равен нулю: ноль групп любого размера или любое число групп, в каждой из которых ноль предметов, дают ноль. Деление на ноль не определено, поэтому делитель не может быть равен нулю.
Переместительное свойство сложения и умножения позволяет менять местами числа: a + b = b + a и a · b = b · a. Сочетательное свойство разрешает по-разному группировать слагаемые и множители: (a + b) + c = a + (b + c), а (a · b) · c = a · (b · c). Благодаря этому можно сначала объединить числа, с которыми удобнее считать, например пару, дающую круглое число. Для вычитания и деления такие перестановки в общем случае неверны.
Чтобы выражение имело однозначное значение, действия выполняют по правилам порядка. Сначала считают в скобках, затем выполняют умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Если подряд стоят действия одной ступени, их выполняют слева направо: например, деление и умножение имеют равный приоритет. Скобки могут изменить порядок, потому что задают, какую часть выражения нужно вычислить первой.
| Действие | Обозначение | Как называется результат | Обратное действие | Особое условие |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | + | Сумма | Вычитание | Прибавление нуля не меняет число |
| Вычитание | − | Разность | Сложение | Уменьшаемое минус вычитаемое |
| Умножение | · или × | Произведение | Деление | Умножение на ноль даёт ноль |
| Деление | : | Частное | Умножение | Делитель не должен быть равен нулю |
Таблица помогает вспомнить обозначение действия, название результата и действие, с помощью которого можно проверить вычисление или восстановить неизвестный компонент. Особое условие показывает, на что нужно обратить внимание, прежде чем выполнять операцию. Например, перед делением всегда проверьте, что делитель не равен нулю.
Вычислить 248 + 37 − 48, выбрав удобный порядок вычислений. Здесь сложение и вычитание стоят в одной цепочке, но числа можно перегруппировать как сумму 248 и 37, из которой вычитают 48. Чтобы считать проще, представим −48 как сумму −50 и 2, либо сначала объединим 248 и −48: их сумма равна круглому числу.
Ответ: 237. Мы не изменили значения выражения: сложение можно переставлять и группировать, а вычитание здесь представили как сложение противоположного числа.
Найти значение выражения 72 : 8 · 3 + 5 · (14 − 9). Сначала вычислим действие в скобках, затем умножение и деление. Деление и умножение в первой части имеют одинаковую ступень, поэтому выполняются слева направо, а сложение будет последним.
Ответ: 52. Если бы умножение 8 · 3 выполнили раньше деления, изменили бы порядок действий и получили неверное значение.
Найти неизвестное число x в равенстве 6 · (x − 4) = 54 и проверить ответ. Сначала нужно восстановить значение скобок: всё выражение в скобках умножено на 6. Затем, уже внутри скобок, найдём x, учитывая, что из него вычитают 4.
Ответ: x = 13. Обратные действия отменяют выполненные операции в обратном порядке: сначала умножение отменили делением, затем вычитание — сложением.
Переставлять числа при вычитании или делении нельзя: эти действия не переместительны. Ошибка возникает, если переносить на них правило, знакомое для сложения и умножения. Проверка на простых числах быстро показывает разницу: 10 − 3 не равно 3 − 10, а 12 : 4 не равно 4 : 12.
В выражении со сложением и умножением ошибочно сначала складывать только потому, что сложение записано первым. Так делают, если забывают о ступенях порядка действий. Проверьте, нет ли скобок, и выполняйте умножение раньше сложения: например, 2 + 3 · 4 = 14, а не 20.
Действия одной ступени нельзя выполнять в произвольном порядке. Например, в выражении 24 : 3 · 2 сначала выполняют деление слева направо, а затем умножение; если сначала умножить 3 на 2, получится другой ответ. Чтобы проверить себя, отметьте порядок знаков слева направо после выполнения действий более высокой ступени.
Деление на ноль недопустимо, даже если в вычислениях оно кажется удобным. Ошибка обычно появляется, когда не проверяют делитель перед вычислением или сокращают выражение без учёта ограничений. Всегда убедитесь, что делитель не равен нулю; если он равен нулю, дальнейшее деление выполнить нельзя.
Для работы с арифметическими действиями нужно уметь читать натуральные, целые и дробные числа и знать знаки операций. Эти действия применяются и к отрицательным числам и дробям, хотя при вычислениях с ними появляются дополнительные правила знаков. Свойства сложения и умножения помогают упрощать числовые выражения и делать вычисления удобнее.
Обратные действия особенно полезны при решении уравнений: неизвестное можно найти, по очереди отменяя известные действия. Они также позволяют проверять вычисления — результат вычитания восстанавливают сложением, а частное проверяют умножением. Так арифметические правила связывают вычисления с алгебраическими преобразованиями.
Почему вычитание и деление нельзя выполнять в произвольном порядке?
Вычитание и деление не являются переместительными: если поменять числа местами, обычно получится другой результат. Например, 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5; 12 : 3 = 4, а 3 : 12 = ¼.
Можно ли менять местами множители?
Да, при умножении множители можно менять местами: от этого произведение не меняется. Например, 4 · 7 = 7 · 4 = 28.
Что выполняют первым: умножение или сложение?
Сначала выполняют умножение, если оно не заключено в скобки вместе с другими действиями. Например, в выражении 2 + 3 · 4 сначала находят 3 · 4, затем прибавляют 2.
Как проверить результат вычитания или деления?
Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое. Деление проверяют умножением: частное умножают на делитель и получают делимое.
Почему делить на ноль нельзя?
Деление означает поиск числа, которое при умножении на делитель даст делимое. Не существует числа, которое при умножении на 0 даст ненулевое число, а для нуля ответ был бы неоднозначным: любое число, умноженное на 0, равно 0.
2.85. Арифметические действия над числами
