"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Числовой луч — это луч, на котором числа изображают точками. Чтобы он стал числовым, нужно выбрать его начало, направление и единичный отрезок. Началу соответствует 0, а длине единичного отрезка — 1. Координата точки показывает, сколько единичных отрезков и их частей отделяет точку от начала. С помощью числового луча можно наглядно сравнивать числа, отмечать дроби и находить расстояния между точками.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовой луч — это луч с началом, выбранным направлением и единичным отрезком, на котором изображают числа. Он нужен, чтобы связывать числа с положением точек и наглядно сравнивать их. Без этих договорённостей один и тот же луч нельзя однозначно использовать как шкалу.
Начало числового луча — точка, которой соответствует число 0. От неё отсчитывают расстояния до остальных точек. Начало помогает всем одинаково понимать, откуда начинается счёт.
Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу измерения на числовом луче. Его конец соответствует числу 1. По этому отрезку определяют, сколько единиц или их частей отделяет точку от начала.
Координата точки — число, показывающее расстояние от начала луча до точки, выраженное в единичных отрезках. Координату записывают после буквы, обозначающей точку: A(3). Это позволяет отличать саму точку от числа, которое ей соответствует.
Обычный луч имеет начало и продолжается в одном направлении, но сам по себе ещё не задаёт числовую шкалу. Чтобы числа можно было расположить на луче, нужно договориться, где находится ноль, куда направлен счёт и какой длине соответствует единица. Тогда положение точки можно определить по единому правилу. Если хотя бы одного из этих условий нет, координаты будут неоднозначными.
Началу луча назначают число 0, потому что от него удобно измерять расстояние до других точек. Затем на выбранном направлении откладывают единичный отрезок, а его конец связывают с числом 1. Следующий такой же отрезок приводит к числу 2, следующий — к 3. Равенство отрезков сохраняет один масштаб на всём луче.
Чтобы отметить число, надо представить его как расстояние от нуля в единичных отрезках. Например, для числа 3 от начала последовательно откладывают три единичных отрезка в выбранном направлении. Конец третьего отрезка и будет точкой с координатой 3. Такой способ работает и для дробей: если единицу разделить на равные части, можно отложить нужное количество этих частей.
Координату уже отмеченной точки находят, сравнивая её расстояние от начала с единичным отрезком. Сначала проверяют, сколько целых единиц укладывается до точки, а затем — сколько частей единицы добавлено. Если единица разделена на четыре равные части и точка удалена на семь таких частей, расстояние равно 7/4 единичного отрезка. Значит, координата точки — 7/4.
Каждой точке числового луча соответствует только одно расстояние от начала, а значит, и одна координата. И наоборот, неотрицательное число задаёт одно расстояние и определяет одну точку на луче. Это связано с тем, что луч имеет одно выбранное направление, а единичный отрезок задаёт неизменный масштаб. Поэтому точкам дальше от начала соответствуют большие координаты.
| Элемент или обозначение | Что означает | Как используется |
|---|---|---|
| Начало луча | Точка, которой соответствует 0 | От неё отсчитывают расстояние до точек |
| Число 0 | Координата начала луча | Задаёт начальную точку отсчёта |
| Единичный отрезок | Отрезок, принятый за одну единицу | Определяет масштаб числового луча |
| Точка с координатой a | Точка на расстоянии a единиц от начала | Изображает число a на луче |
| Запись A(a) | Точка A имеет координату a | Показывает обозначение точки и её координату |
Сначала найдите начало и единичный отрезок: без них нельзя прочитать шкалу. Затем определите, какому числу соответствует положение точки или отметки. Запись вида A(a) читайте так: точка обозначена буквой A, а её координата равна a.
Задача 1. На числовом луче отмечено начало O и построен единичный отрезок. Отметьте точку A с координатой 3.
Мы откладываем именно три единицы, потому что координата показывает расстояние от начала в единичных отрезках. Ответ: точка A находится на расстоянии трёх единичных отрезков от O, A(3).
Задача 2. Единичный отрезок разделён на 4 равные части. Точка B расположена на расстоянии 7 таких частей от начала луча. Укажите её координату.
Координату выражают в единичных отрезках, а не в количестве маленьких делений. Ответ: координата точки B равна 7/4.
Задача 3. Точка A имеет координату 2, а точка B — координату 5. Найдите расстояние между точками в единичных отрезках и определите, какая точка расположена правее.
Разность координат показывает расстояние между точками, потому что обе координаты отсчитаны от одного начала. Ответ: расстояние равно 3 единичным отрезкам, правее расположена точка B.
Можно решить, что достаточно провести луч и расставить отметки. Но без начала, направления и единичного отрезка неизвестно, откуда считать, в какую сторону и в каком масштабе. Такая ошибка возникает, когда принимают обычный рисунок за готовую числовую шкалу. Проверьте, указаны ли все три элемента, прежде чем называть координаты.
Иногда единичным отрезком считают расстояние между любыми соседними делениями. Это неверно: единица — именно отрезок от 0 до 1, а он может быть разделён на несколько частей. Путаница возникает, если мелкие деления принимают за целые единицы. Сверьте отметки 0 и 1 и посчитайте, сколько малых частей составляет единицу.
Другая ошибка — смешивать точку и её координату. Буква A обозначает точку, а запись A(3) сообщает, что её координата равна 3; сама точка не является числом. Это легко перепутать, если читать запись без скобок и пояснения. Проверка простая: спросите себя, что именно называется — объект на луче или число, указывающее его положение.
Деления иногда отсчитывают не от начала или откладывают против выбранного направления. Тогда даже правильное количество отрезков приводит к неправильному месту и координате. Обычно так случается, если не отметить ноль и направление до начала построения. Проверьте отсчёт: он должен начинаться в точке 0 и идти по направлению луча.
Для работы с числовым лучом нужны навыки измерения длины отрезка, деления его на равные части и счёта натуральными числами. Эти умения помогают установить масштаб и не ошибиться при откладывании единиц или их долей. Числовой луч, в свою очередь, помогает сравнивать числа и изображать дроби. Представление о координате пригодится при изучении координатной прямой и координатной плоскости.
Чем числовой луч отличается от обычного луча?
Обычный луч задаёт начало и направление. На числовом луче дополнительно выбирают единичный отрезок, поэтому каждой точке можно сопоставить число — её координату.
Почему начало числового луча обозначают числом 0?
Начало служит точкой отсчёта, от которой измеряют расстояния до остальных точек. Ему условно присваивают число 0, а числа дальше по лучу показывают, насколько далеко от него расположена точка.
Как выбрать единичный отрезок?
На луче выбирают отрезок удобной длины и принимают его за единицу. Его конец обозначают числом 1; важно пользоваться одним и тем же единичным отрезком для всех точек этого луча.
Как найти координату точки, если единичный отрезок разделён на части?
Сначала определяют, на сколько равных частей разделена единица, затем считают, сколько таких частей от начала до точки. Например, если единица состоит из четырёх частей, а точка удалена на семь частей, её координата равна 7/4.
Как по координатам понять, какая из двух точек расположена правее?
На числовом луче правее находится точка с большей координатой. Поэтому достаточно сравнить числа: например, 5 больше 2, значит точка с координатой 5 расположена правее.
2.86. Числовой луч. Координаты точки на числовом луче
