"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Умножение десятичных дробей помогает находить произведение чисел, в записи которых есть запятая. Оно нужно, например, чтобы вычислить площадь прямоугольной площадки с дробными длиной и шириной. Сначала множители умножают как натуральные числа, временно не учитывая запятые. Затем в произведении отделяют справа столько цифр, сколько знаков после запятой было у обоих множителей вместе. Если цифр не хватает, слева приписывают нули. Особый случай — умножение на 10, 100 и другие степени десяти.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — число, записанное с помощью запятой, например 3,25 или 0,6. Цифры справа от запятой показывают части целого: первая — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Так, 3,25 означает 3 целых и 25 сотых. Эта запись помогает удобно выражать части единицы и выполнять вычисления с ними.
Произведение десятичных дробей — результат умножения таких чисел. Числа, которые умножают друг на друга, называют множителями, а их результат — произведением: например, в записи 2,4 · 1,3 множители — 2,4 и 1,3. Название помогает различать числа в примере и понимать, что именно нужно найти. Знак · означает умножение.
Умножение десятичных дробей — действие, при котором находят произведение чисел с десятичной записью. Для вычисления запятые сначала временно не учитывают и умножают числа как натуральные. Потом запятую ставят в ответе по количеству знаков после запятой в исходных множителях. Такой способ позволяет не терять разряды дробной части.
Десятичную дробь можно представить как целое число, делённое на степень десяти. Например, 2,4 = 24 : 10, а 1,3 = 13 : 10, поэтому их произведение связано с произведением 24 · 13, делённым на 100. Именно поэтому запятые можно временно убрать: мы умножаем целые числа, а потом учитываем, во сколько раз исходные дроби были меньше этих чисел. Для каждой дроби учитывают свой знаменатель — 10, 100, 1000 и так далее.
Сначала посчитай знаки после запятой в обоих множителях, а затем умножь их как натуральные числа. Например, у 2,4 один знак, а у 1,3 тоже один; всего будет два. Этот подсчёт нужен заранее, чтобы после вычислений не забыть, насколько произведение целых чисел отличается от искомого результата. Само умножение выполняй обычным способом, как если бы запятых не было.
Общее число знаков после запятой определяет разряд результата. Если один множитель записан в десятых, а другой — в сотых, то при умножении целых чисел учтены соответственно деление на 10 и на 100. Вместе это деление на 1000, то есть у произведения должно быть три знака после запятой. Поэтому цифры в ответе отделяют справа, а не выбирают место запятой на глаз.
Иногда цифр в полученном произведении меньше, чем нужно оставить после запятой. Тогда слева приписывают недостающие нули, чтобы нужное количество цифр оказалось справа от запятой. Например, 8 · 6 = 48, но при трёх знаках после запятой запись должна иметь вид 0,048. Нули слева не меняют значение числа, зато помогают правильно показать его дробную часть.
При умножении на 10, 100, 1000 и другие степени десяти запятая перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей в числе. Это происходит потому, что каждое умножение на 10 делает число в десять раз больше: десятые становятся единицами, сотые — десятыми. Например, 2,37 · 10 = 23,7, а 2,37 · 100 = 237. Если после запятой цифр не хватает, можно дописать нули справа.
| Случай | Как вычислять | Как определить положение запятой |
|---|---|---|
| Две десятичные дроби | Умножить числа, временно не учитывая запятые. | Сложить количество знаков после запятой у обоих множителей и отделить столько цифр справа. |
| Десятичная дробь и натуральное число | Умножить дробь и натуральное число как целые числа. | Оставить в произведении столько знаков после запятой, сколько их было в дроби. |
| Умножение на 10, 100, 1000 и другие степени десяти | Умножить на нужную степень десяти. | Переместить запятую вправо на число знаков, равное числу нулей. |
| В произведении не хватает цифр для запятой | Дополнить запись произведения нулями слева. | Поставить запятую так, чтобы справа от неё оказалось нужное число цифр. |
Сначала определи, к какому случаю относится пример, а затем найди произведение целых чисел. После этого выбери правило для запятой и проверь, что учёл дробную часть каждого множителя. Если применяешь правило о степени десяти, запомни направление перемещения запятой: вправо.
Задача 1. Вычислите 2,4 · 1,3. Оба множителя имеют по одному знаку после запятой, значит, в произведении нужно оставить два знака. Сначала умножим 24 на 13, не обращая внимания на запятые. Затем отделим справа две цифры и проверим, что результат близок к 3, потому что 2,4 и 1,3 примерно равны 2 и 1.
Ответ: 3,12. Проверка прикидкой подтверждает результат: 2,4 · 1,3 немного больше 2 · 1, то есть 2, и близко к 3. Запятая поставлена после первой цифры, чтобы справа осталось две цифры. Поэтому значение ответа согласуется и с правилом, и с оценкой.
Задача 2. Вычислите 0,08 · 0,6. В первом множителе два знака после запятой, во втором — один. Всего нужно оставить три знака, но при умножении 8 на 6 получится только 48. Чтобы правильно записать дробную часть, добавим слева ноль и поставим запятую.
Ответ: 0,048. Проверим порядок числа: оба множителя меньше единицы, поэтому произведение должно быть меньше каждого из них. Полученное число действительно меньше 0,08 и 0,6. Ноль слева нужен не для изменения значения, а для правильного положения запятой.
Задача 3. Прямоугольная площадка имеет длину 3,25 м и ширину 1,4 м. Найдите её площадь. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину, поэтому составим выражение 3,25 · 1,4. В длине два знака после запятой, в ширине — один, значит, результат должен иметь три знака после запятой. Так мы учитываем дробные части обеих величин.
Ответ: 4,55 м². Ноль в конце дробной части можно не писать, потому что он не меняет значение числа. Единица площади — квадратный метр, поскольку перемножались метры на метры. Прикидка тоже подходит: 3,25 · 1,4 немного больше 3 · 1,4 = 4,2.
Первая ошибка — посчитать знаки после запятой только у одного множителя. Например, в 2,4 · 1,3 тогда оставят один знак вместо двух. Так бывает, если внимание сосредоточено только на первом числе. Проверь себя: отдельно посчитай знаки в каждом множителе и сложи их количества.
Вторая ошибка — выбирать место запятой, считая цифры слева направо от начала числа. При таком подходе легко поставить её не в том разряде, потому что правило зависит не от длины записи, а от числа дробных знаков в множителях. Чтобы проверить результат, пересчитай эти знаки и отсчитай нужное количество цифр справа. Например, два дробных знака означают, что справа должно остаться две цифры.
Третья ошибка — не дописывать нули слева, если цифр в произведении не хватает. Тогда, например, 48 при трёх знаках после запятой могут ошибочно записать как 0,48 вместо 0,048. Ошибка возникает из-за того, что не хватает цифры для отсчёта дробной части. Проверь, есть ли справа от запятой ровно столько цифр, сколько требует сумма знаков у множителей.
Четвёртая ошибка — передвигать запятую влево при умножении на 10 или 100. Возможно, направление путают с делением на эти числа, при котором запятая действительно перемещается влево. Умножение на 10 увеличивает число в десять раз, поэтому запятая идёт вправо на один знак, а при умножении на 100 — на два. Проверь направление прикидкой: результат умножения должен стать больше исходного числа.
Для умножения десятичных дробей нужно знать, как записывают дроби и что означают разряды после запятой. Также пригодится умножение натуральных чисел, которое выполняют до того, как ставить запятую в ответе. Если эти действия пока вызывают затруднения, полезно сначала повторить их по отдельности. Тогда вычисление десятичного произведения станет понятнее.
Умножение десятичных дробей используют, когда находят площадь по длине и ширине, а также при вычислении других величин. Оно встречается в задачах с измерениями, где числа записаны в метрах, сантиметрах и других единицах. Умение оценивать произведение помогает заметить неверно поставленную запятую. Поэтому правило нужно не только для примеров, но и для проверки ответов в задачах.
Почему при умножении сначала можно не обращать внимания на запятые?
Каждую десятичную дробь можно представить как целое число, делённое на 10, 100 или другую степень десяти. Поэтому сначала удобно перемножить целые числа, а затем учесть запятые и вернуть нужный разряд в ответ.
Как узнать, сколько знаков оставить после запятой в произведении?
Посчитай знаки после запятой в каждом множителе и сложи их количества. Столько цифр нужно отделить справа в произведении.
Что делать, если в произведении не хватает цифр для запятой?
Припиши слева к произведению столько нулей, сколько нужно, чтобы отделить требуемое число цифр справа. Например, в 48 нужно дописать ноль: 0,48.
Куда перемещается запятая при умножении на 10 или 100?
При умножении на 10 запятая перемещается вправо на один знак, а при умножении на 100 — на два. Если цифр справа не хватает, число можно дополнить нулями.
Как проверить, что произведение десятичных дробей получилось разумным?
Оцени множители примерно и прикинь, каким должно быть произведение. Например, произведение двух чисел меньше 1 тоже должно быть меньше каждого из них.
36. Умножение десятичных дробей
