35. Деление десятичных дробей на натуральные числа

Определения и обозначения

Разделить десятичную дробь на натуральное число — значит найти такое число, которое при умножении на делитель даст исходную дробь. Например, в записи 8,4 : 2 делимое — 8,4, а делитель — 2. Это определение помогает понять цель вычисления: нужно не просто выполнить действия с цифрами, а найти число, которое подходит для обратной проверки умножением.

Частное — это результат деления. При делении десятичной дроби на натуральное число частное может оказаться целым числом или десятичной дробью: например, 8,4 : 2 = 4,2. Знание этого термина удобно, когда нужно назвать результат и проверить его: частное умножают на делитель и сравнивают с делимым.

Запятая в частном отделяет его целую часть от дробной, то есть показывает, где заканчиваются целые единицы и начинаются доли единицы. При делении столбиком её ставят напротив запятой в делимом. Такое положение связывает разряды делимого и частного и не позволяет перепутать, сколько в результате целых, десятых или сотых.

Как это устроено

Деление начинают так же, как деление натуральных чисел: рассматривают цифры делимого слева направо и выясняют, сколько раз делитель помещается в очередной части числа. Полученные цифры последовательно записывают в частное. Так сохраняется привычный порядок разрядов: каждая новая цифра результата отвечает очередному шагу деления, а остаток переносится к следующей цифре.

Когда при делении доходят до запятой в делимом, в частном ставят запятую. До этого шага делили целую часть, а после него переходят к десятичным долям. Запятая в частном должна стоять именно напротив запятой делимого, потому что разряды результата продолжают разряды исходного числа: после единиц идут десятые, затем сотые.

Иногда после использования всех цифр делимого остаётся остаток, а деление ещё не завершено. Тогда справа после запятой приписывают ноль и продолжают деление, словно появилась следующая цифра. Значение числа от этого не меняется: 2,5 и 2,50 обозначают одинаковое количество, ведь ноль справа добавляет нулевое число сотых.

На очередном шаге часть делимого может оказаться меньше делителя, поэтому целое число раз делитель в неё не помещается. В этом разряде частного нужно записать 0 и только затем переходить к следующей цифре. Ноль показывает, что разряд пропущен не случайно: без него цифры частного сдвинутся, а результат станет другим.

Проверить ответ можно умножением: частное умножают на делитель и сравнивают произведение с делимым. Умножение обращает деление, поэтому верное частное должно восстановить исходную дробь. Например, если частное получилось 4,2, а делитель равен 2, проверка даёт 4,2 · 2 = 8,4.

Приёмы деления десятичной дроби на натуральное число

Найдите в таблице свою ситуацию и выполните указанный шаг, не забывая следить за разрядами. Если деление продолжается после запятой, проверяйте, не нужен ли ноль в частном или справа в делимом. Последняя строка подсказывает, как убедиться в результате.

Разбор задач

Вычислите 8,4 : 2.

Здесь делитель 2 помещается в целой части делимого несколько раз, поэтому начинаем с деления 8 на 2. После деления целой части нужно перейти к десятым. Запятую результата ставим там же, где запятая стоит в делимом.

1. Разделим 8 на 2: получим 4, остатка нет. Пока записали целую часть частного.
2. Дойдём до запятой в числе 8,4 и поставим запятую в частном напротив неё. Затем разделим 4 десятых на 2: получится 2 десятых.
3. Запишем результат 4,2. Проверим: 4,2 · 2 = 8,4, значит, частное найдено верно.

Ответ: 4,2.

Вычислите 17,25 : 5.

Целая часть 17 делится на 5: получится 3, а остаток 2. Следующую цифру делимого нужно присоединить к остатку, затем учесть запятую и продолжить деление десятичных разрядов. Так мы не теряем остаток и правильно размещаем запятую в частном.

1. 17 : 5 = 3, остаток 2. Сносим цифру 2: получаем 22; 22 : 5 = 4, остаток 2.
2. Дошли до запятой в делимом, поэтому ставим запятую в частном после цифры 3. Сносим следующую цифру 5: 25 : 5 = 5, остатка нет.
3. Осталась цифра 0 в разряде тысячных делимого: после неё деление даёт 0. Записываем её в частном: получаем 3,450, то есть 3,45.

Проверим ответ: 3,45 · 5 = 17,25. Значит, результат совпадает с делимым после умножения на делитель.

Ответ: 3,45.

Вычислите 6,48 : 8.

Целая часть 6 меньше делителя 8, поэтому целых единиц в частном не будет. После запятой нужно внимательно записать ноль в разряде десятых: 6 десятых тоже меньше 8 целых единиц при счёте в десятых. Затем продолжим деление, используя сотые.

1. Запишем в частном 0, поскольку 6 меньше 8. Дойдём до запятой в делимом и поставим запятую в частном.
2. Для разряда десятых получаем 6, а 6 : 8 целых раз не делится. Записываем 0 в частном и переходим к следующей цифре, получая 64 сотых.
3. 64 : 8 = 8. Запишем 8 после нуля в дробной части: частное равно 0,81. Проверка: 0,81 · 8 = 6,48.

Ответ: 0,81.

Типичные ошибки

Некоторые ставят запятую в частном по числу цифр после запятой, а не напротив запятой делимого. Так путают правило деления с подсчётом знаков в других действиях. Проверьте себя: сначала делите по порядку, затем поставьте запятую в момент перехода через запятую делимого.

Если не записать ноль в промежуточном разряде частного, следующие цифры сдвинутся. Ошибка возникает потому, что ноль кажется ненужным, хотя он показывает место разряда. Сверьте частное по шагам деления и выполните умножение: неверное положение цифр часто приводит к тому, что произведение не совпадает с делимым.

Приписывание нуля справа иногда считают изменением числа. Но 2,5 = 2,50: дополнительный ноль означает ноль сотых, поэтому величина дроби прежняя. Для проверки прочитайте числа как доли: две целых и пять десятых — это столько же, сколько две целых и пятьдесят сотых.

Ещё одна ошибка — остановиться, когда цифры делимого закончились, хотя остался ненулевой остаток. Так поступают, забывая, что после запятой можно приписать ноль и продолжить деление. Проверьте, делится ли остаток на делитель без остатка; если нет, допишите ноль и продолжайте, а затем проверьте ответ умножением.

Связь с другими темами

Для деления столбиком нужно уметь делить натуральные числа и знать, как называются разряды десятичной дроби. Также нужно помнить, что нули справа после последнего десятичного знака не меняют значения числа: это позволяет продолжать вычисление. Приём пригодится в задачах о стоимости, длине и массе, а также при переводе величин и нахождении среднего значения, когда нужно разделить общее количество на число частей.

Что запомнить

• Деление выполняют по правилам деления натуральных чисел.
• Запятую в частном ставят напротив запятой в делимом.
• Если цифр делимого не хватает, можно приписать нули справа.
• Промежуточные нули в частном записывают обязательно.
• Результат проверяют умножением частного на делитель.
• Нули справа после запятой не изменяют значение десятичной дроби.