"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, сначала умножают числа так, будто запятой нет, а затем возвращают её на нужное место. Количество знаков после запятой в результате берут из десятичной дроби. Такой приём помогает быстро находить сумму одинаковых дробей и решать задачи о стоимости, длине, массе и объёме. Прикидка заранее подсказывает, каким примерно должен быть ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число — число, которым считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. В записи a · n натуральное число n может быть множителем, то есть числом, на которое умножают десятичную дробь a. Оно показывает, сколько одинаковых слагаемых нужно взять.
Умножение десятичной дроби на натуральное число — действие, результат которого равен сумме одинаковых десятичных дробей. Например, 0,4 · 3 означает взять три слагаемых по 0,4. Такое понимание помогает связать умножение с уже знакомым сложением и проверить вычисление.
Произведение — результат умножения. В записи 0,4 · 3 произведение равно 1,2. Чтобы правильно записать его, нужно учитывать, сколько знаков было после запятой в десятичной дроби: именно они определяют положение запятой в ответе.
Умножение можно представить как сложение одинаковых слагаемых: 0,4 · 3 = 0,4 + 0,4 + 0,4. В каждом слагаемом по четыре десятых, поэтому всего получается двенадцать десятых, то есть 1,2. Это объясняет, почему умножение на натуральное число помогает быстрее складывать одинаковые дроби.
При вычислении столбиком сначала временно отбрасывают запятую и умножают числа как натуральные. Например, в 2,4 число 2,4 можно представить как 24 десятых. Умножив 24 на 3, получаем 72 десятых, а не 72 целых. Поэтому запятую нельзя забыть: после обычного умножения она вернётся с учётом десятых.
В произведении отделяют справа столько цифр, сколько знаков было после запятой в десятичной дроби. Если умножаем сотые, полученный ответ тоже сначала читаем в сотых: 0,36 — это 36 сотых, а 36 · 7 = 252, значит, 252 сотых равны 2,52. Так сохраняется разряд: сотые не превращаются в целые.
Иногда в произведении не хватает цифр, чтобы отделить нужное количество знаков. Тогда слева дописывают нули, например 0,04 · 2: умножаем 4 на 2 и получаем 8, но для сотых записываем 0,08. Ноль перед запятой показывает, что целых единиц нет, а ноль после запятой помогает указать сотые.
Перед вычислением или после него полезно прикинуть ответ. Округлим 2,4 примерно до 2: 2 · 3 = 6, значит, результат должен быть около 6, а не около 60 или 0,6. Такая оценка не заменяет точный расчёт, но помогает заметить ошибку в умножении или положении запятой.
Двигайтесь по строкам таблицы сверху вниз: сначала выполните обычное умножение, затем поставьте запятую. После этого проверьте, не нужны ли нули слева и похож ли ответ на результат, который можно ожидать. Для проверки удобно проговорить, сколько знаков после запятой было в дроби-множителе.
| Шаг | Действие | Что важно проверить |
|---|---|---|
| 1 | Записать множители и умножить числа, не обращая внимания на запятую | Выполнено ли умножение натуральных чисел правильно |
| 2 | Определить число знаков после запятой в десятичном множителе | Считаются знаки именно в десятичной дроби |
| 3 | Отделить запятой справа нужное количество цифр в произведении | Совпадает ли число знаков с числом знаков в дроби |
| 4 | При необходимости дописать нули слева | Хватает ли цифр до запятой и после неё |
| 5 | Оценить результат и проверить его правдоподобие | Соответствует ли ответ прикидке |
Нужно умножить десятичную дробь на натуральное число и определить место запятой. В дроби 2,4 один знак после запятой, значит, в произведении нужно отделить одну цифру справа. Для проверки можно представить умножение как сложение трёх одинаковых чисел.
Ответ: 7,2. Это разумно: три раза по 2,4 — немного больше, чем три раза по 2, то есть больше 6.
Число 0,36 меньше 1, поэтому семь таких слагаемых должны дать меньше 7. В записи 0,36 два знака после запятой, то есть число выражено в сотых. Поэтому после умножения 36 на 7 результат нужно прочитать в сотых.
Ответ: 2,52. Если бы в ответе получилось, например, 25,2, он противоречил бы прикидке, и запятую следовало бы проверить.
В каждой бутылке одинаковый объём, а бутылок восемь, значит, общий объём можно найти умножением. Дробь 0,125 показывает 125 тысячных литра. После умножения нужно сохранить разряд тысячных, а затем соотнести число с литрами из условия.
Ответ: 1 л сока. Это правдоподобно: восемь бутылок по одной восьмой литра составляют литр. Проверка показывает, что все восемь порций вместе дали целое число литров.
Умножать, учитывая запятую прямо во время вычисления. Так можно запутаться в обычных действиях столбиком, поэтому сначала запятую временно не учитывают. Ошибку помогают заметить проверка умножения натуральных чисел и отдельный подсчёт знаков в десятичной дроби. Например, 2,4 · 3 сначала превращается в 24 · 3.
Отделять столько цифр, сколько знаков было в натуральном множителе. Такую ошибку допускают, когда считают знаки не в том числе. Количество знаков определяет десятичная дробь: в 0,36 · 7 нужно отделить две цифры, а не одну. Перед постановкой запятой проверьте, какой множитель является десятичной дробью.
Не дописывать нули слева, если цифр не хватает. Например, после умножения 4 на 2 получается 8, но в задаче 0,04 · 2 нужны сотые, поэтому ответ записывают как 0,08. Без нуля можно неверно поставить запятую. Пересчитайте цифры справа от неё и убедитесь, что их столько же, сколько знаков было в дроби.
Ставить запятую так, что ответ не похож на ожидаемый. Например, при умножении дроби меньше 1 на число, недостаточное для получения большого результата, нельзя без проверки записывать слишком большое произведение. Ошибку допускают, если механически переставляют запятую и не оценивают ответ. Сделайте прикидку: 0,36 · 7 меньше 7, потому что каждое из семи слагаемых меньше 1.
Перед изучением правила полезно уметь умножать натуральные числа столбиком и понимать, что показывают единицы, десятые и сотые. Также нужно знать запись десятичных дробей, значение цифр после запятой и уметь сравнивать такие дроби. Приём пригодится, когда позже вы будете умножать десятичные дроби друг на друга. Он помогает решать задачи, например, находить стоимость нескольких одинаковых предметов, общую длину, массу или объём.
Почему при умножении сначала можно не обращать внимания на запятую?
Так мы временно заменяем десятичную дробь целым числом, умножение которого удобно выполнить столбиком. Запятая показывает, сколько разрядов в исходном числе было после целой части, поэтому после умножения мы учитываем это количество и возвращаем запятую на нужное место.
Сколько цифр нужно отделить после запятой в ответе?
Столько, сколько знаков после запятой было в десятичной дроби-множителе. Например, при умножении 0,36 на натуральное число в ответе отделяют две цифры справа.
Что делать, если цифр произведения меньше, чем знаков после запятой в дроби?
Нужно дописать слева к произведению столько нулей, сколько требуется, чтобы хватило цифр для отделения. Например, 0,04 · 2: сначала получаем 8, затем записываем 0,08.
Нужно ли учитывать нули в конце десятичной дроби?
При подсчёте знаков после запятой учитывают и записанные нули. Но нули в конце десятичной дроби можно убрать, не меняя её значения: например, 1,20 = 1,2. Удобно сначала убрать такие нули, если это упрощает вычисление.
Как проверить, правильно ли поставлена запятая?
Округлите числа и прикиньте примерный результат, затем сравните его с ответом. Например, 0,36 · 7 должно быть меньше 7, потому что 0,36 меньше 1. Если ответ намного больше или меньше ожидаемого, проверьте положение запятой.
34. Умножение десятичных дробей на натуральные числа
