§ 7. Умножение и деление десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — дробь, в записи которой после запятой указано число десятичных знаков. Например, в числе 4,28 два знака после запятой: это сотые. Такая запись помогает видеть, на какие части целого делится число, и выполнять вычисления с величинами.

Умножение десятичных дробей — нахождение произведения десятичных чисел с учётом их разрядного состава. Разрядный состав показывает, сколько в числе единиц, десятых, сотых и других долей. Это нужно учитывать, чтобы после обычного умножения правильно поставить запятую в ответе.

Деление десятичных дробей — нахождение частного, которое при умножении на делитель даёт делимое. Например, если 6 : 2 = 3, то 3 · 2 = 6. Такое понимание помогает проверить деление и разобраться, что означает найденный результат.

Степень десяти — число 10, 100, 1000 и другие числа, полученные умножением десятки на себя несколько раз. При умножении или делении на такие числа запятая сдвигается на определённое число разрядов. Это правило позволяет быстро выполнять вычисления без письменного умножения или деления.

Как это устроено

При умножении десятичных дробей удобно сначала временно убрать запятые и перемножить получившиеся натуральные числа. Но тогда мы как будто считаем десятые и сотые целыми единицами, поэтому после вычисления надо вернуть учёт этих долей. Каждый знак после запятой в множителе задаёт дробный разряд, а при умножении разряды обоих множителей складываются. Поэтому справа в произведении отделяют столько знаков, сколько их всего было после запятых в двух множителях.

Умножение на 10 означает, что каждая единица становится десятью единицами, а каждая десятая — единицей. Поэтому цифры числа переходят в более крупные разряды, а запятая перемещается вправо на один знак; умножение на 100 или 1000 сдвигает её на два или три знака. Если цифр справа не хватает, приписывают нули: например, 2,5 · 100 = 250.

При делении десятичной дроби на натуральное число можно пользоваться обычным делением столбиком. Пока делятся целые части, записывают целую часть частного; когда в делимом проходят запятую, ставят запятую и в частном. Если после запятой цифр не хватает, приписывают к делимому нули, не меняя его значения: например, 5,4 = 5,40.

Деление на 10, 100 или 1000 делает число в 10, 100 или 1000 раз меньше. Поэтому цифры переходят в более мелкие разряды, а запятая движется влево на один, два или три знака. Если цифр слева недостаточно, перед ними записывают нули: 3,6 : 100 = 0,036. Эти нули показывают, что в числе нет единиц и десятых.

Делить на десятичную дробь неудобно, поэтому делитель превращают в натуральное число. Для этого запятую в делителе передвигают вправо до её исчезновения, а в делимом — на столько же разрядов вправо. Частное при этом не меняется: делимое и делитель фактически умножаются на одно и то же число. Например, 8,64 : 2,4 превращается в 86,4 : 24.

Правила умножения и деления десятичных дробей

Сначала выбери строку, которая подходит к примеру, а затем выполняй действие по её правилу. Особенно внимательно проверяй, сколько знаков нужно передвинуть или отделить запятой. В последнем столбце показан образец применения каждого правила.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 3,7 · 2,4. Здесь оба множителя имеют по одному знаку после запятой, значит, всего в них два десятичных знака. Сначала умножим числа без запятых, а потом учтём оба знака.

1. Убираем запятые и умножаем: 37 · 24 = 888.
2. В множителях вместе было два знака после запятой, поэтому отделяем справа два знака: 8,88.
3. Проверяем размер ответа: 3,7 примерно равно 4, а 2,4 примерно равно 2, значит, произведение около 8 — ответ подходит.

Ответ: 8,88.

Задача 2. Вычислить 8,64 : 2,4. Делитель содержит один знак после запятой, поэтому перед делением перенесём запятые в обоих числах на один знак вправо. Так делитель станет натуральным, а частное сохранится.

1. Переносим запятые на один знак вправо: 8,64 : 2,4 = 86,4 : 24.
2. Делим: 86,4 : 24 = 3,6, потому что 24 · 3,6 = 86,4.
3. Проверяем исходное действие: 3,6 · 2,4 = 8,64. Значит, частное найдено верно.

Ответ: 3,6.

Задача 3. Из 12,5 кг муки расходуют по 0,25 кг на одну порцию. Нужно узнать, сколько одинаковых порций получится. Чтобы найти число порций, разделим всю массу муки на расход для одной порции.

1. Записываем выражение: 12,5 : 0,25.
2. В делителе два знака после запятой, поэтому передвигаем запятые в обоих числах на два знака вправо: 1250 : 25.
3. Делим: 1250 : 25 = 50. Проверяем: 50 · 0,25 = 12,5 кг, то есть вся мука израсходована.

Ответ: можно приготовить 50 порций.

Типичные ошибки

При умножении иногда считают знаки после запятой только в одном множителе. Так происходит, если сосредоточиться на последнем действии и забыть, что дробные разряды есть в обоих числах. Сосчитай знаки отдельно в первом и втором множителях, а затем сложи их количество. Например, в 1,2 · 0,3 их два, значит, в произведении нужно отделить два знака.

При делении на 10 или 100 запятую могут перенести вправо, перепутав действие с умножением. Проверь себя оценкой: деление на число больше единицы должно уменьшить результат. Например, 4 : 10 меньше, чем 4, поэтому ответ 0,4, а не 40.

При превращении десятичного делителя в натуральный иногда изменяют только делитель. Причина — запятая в делителе кажется главной, но частное сохранится лишь тогда, когда делимое и делитель умножены на одно и то же число. Переноси запятую в обоих числах на одинаковое количество знаков и сравни их перед и после преобразования.

Нули могут пропустить, считая их ненужными, хотя они удерживают правильное место цифр. Например, при делении 3,6 на 100 получается 0,036, а не 0,36: потеря нуля меняет разряд и значение результата. Если цифр не хватает, допиши нули в нужном месте и проверь ответ обратным действием или прикидкой.

Связь с другими темами

Чтобы освоить вычисления, нужно знать разряды десятичной дроби, уметь сравнивать дроби и выполнять умножение и деление натуральных чисел. Также помогают свойства действий и понимание того, как изменение числа влияет на результат. Десятичные дроби часто встречаются в задачах о цене, массе, длине, скорости и расходе материалов. Позже эти правила пригодятся при работе с обыкновенными дробями, процентами, отношениями и уравнениями.

Что запомнить

• При умножении десятичных дробей сначала умножают числа без запятых.
• В произведении отделяют справа столько десятичных знаков, сколько их вместе было в множителях.
• При умножении на 10, 100 и 1000 запятая переносится вправо на 1, 2 и 3 знака.
• При делении на 10, 100 и 1000 запятая переносится влево на 1, 2 и 3 знака.
• Чтобы разделить на десятичную дробь, делитель превращают в натуральное число переносом запятой.
• Запятую в делимом переносят на столько же знаков, что и в делителе.
• Результат деления полезно проверять умножением частного на делитель.