33. Приближенные значения чисел. Округление чисел

Определения и обозначения

Приближённое значение числа — число, которое используют вместо исходного, когда точное значение не требуется или его трудно указать. Например, расстояние можно записать не до каждой тысячной доли километра, а примерно до десятых. Это помогает упростить запись и вычисления, оставив ту точность, которая нужна для дела.

Округление числа — замена числа близким числом с меньшим количеством разрядов или знаков после запятой. Например, вместо 347 можно записать 350, если достаточно знать число примерно до десятков. Округлять нужно так, чтобы новое число оставалось близким к исходному.

Точность приближения — разряд, до которого округляют число: например, до десятков, единиц или десятых. Если говорят «до сотых», в десятичной дроби оставляют две цифры после запятой. Указание точности помогает понять, какие цифры сохранить и насколько близким должно быть приближённое значение.

Знак приближённого равенства ≈ — знак, которым обозначают равенство чисел с округлением, например 3,14 ≈ 3,1. Он показывает, что после округления записано не то же самое число, а близкое к нему. Этот знак нужен, чтобы не спутать приближённый результат с точным равенством.

Как это устроено

Точные числа не всегда удобны: измерение может дать длинную десятичную дробь, а для ответа достаточно нескольких цифр. Тогда используют приближённое значение, чтобы упростить запись и быстрее выполнять вычисления. При этом заранее решают, какая точность подходит: для примерного расстояния достаточно десятых километра, а для другой задачи может понадобиться больше знаков.

Чтобы округлить число, сначала выбирают разряд, который должен остаться последним. Например, если число округляют до десятков, сохраняют цифру десятков; если до десятых — первую цифру после запятой. Затем смотрят на цифру сразу справа от выбранного разряда: именно она показывает, нужно ли приблизить число к следующему значению или оставить его как есть.

Если следующая цифра меньше 5, выбранную цифру не меняют. Если следующая цифра равна 5 или больше, выбранную цифру увеличивают на единицу. Например, при округлении до десятков число 342 ближе к 340, а 347 — к 350: в первом случае цифра единиц меньше 5, во втором — больше. Остальные цифры справа в округлённой записи не сохраняют.

У десятичной дроби правило то же самое, только разряды считают после запятой. Чтобы округлить до сотых, оставляют две цифры после запятой и проверяют третью; чтобы округлить до десятых, оставляют одну цифру и проверяют вторую. Если выбранную цифру нужно увеличить, но она равна 9, в этом разряде записывают 0, а единицу переносят влево. Так, 1,98 до десятых округляется до 2,0: единица переносится через запятую в целую часть.

После округления записывают полученное число и знак ≈ перед ним, если указывают приближённое значение исходного числа. Чтобы проверить точность, убедись, что выбран нужный разряд и цифра справа обработана по правилу. Также проверь запись: цифры правее выбранного разряда должны исчезнуть, а нужные нули в целой части или после запятой должны остаться.

Правило округления числа до выбранного разряда

Пользуйся таблицей после того, как выбрал разряд округления. Найди цифру, стоящую сразу справа от него, и выполни действие из соответствующей строки. В последнем столбце приведены примеры округления до десятков.

Разбор задач

Задача. Округлите 347 до десятков. Нужно найти число, близкое к 347, в котором последним сохранённым разрядом будут десятки. Поэтому оставляем цифру десятков, а цифра единиц поможет решить, менять её или нет.

1. Цифра десятков в числе 347 — 4, а следующая за ней цифра, единиц, — 7.
2. Так как 7 больше 5, увеличиваем цифру десятков на единицу: вместо 4 получаем 5.
3. Цифру единиц убираем, а разряд единиц обозначаем нулём.

Ответ: 347 ≈ 350. Проверка: число округлено до десятков, а семёрка в разряде единиц привела к увеличению цифры десятков.

Задача. Округлите 8,276 до сотых. Сотые — это вторая цифра после запятой, поэтому в ответе нужно сохранить две цифры после запятой. Третья цифра после запятой подскажет, изменится ли число в разряде сотых.

1. После запятой в числе 8,276 стоят цифры 2, 7 и 6. Цифра сотых — 7, а следующая за ней цифра, тысячных, — 6.
2. Поскольку 6 больше 5, увеличиваем цифру сотых с 7 до 8.
3. Цифру тысячных убираем, а целую часть и десятые оставляем.

Ответ: 8,276 ≈ 8,28. Проверка: после запятой осталось две цифры, значит, число округлено до сотых.

Задача. Расстояние между двумя пунктами составляет 12,748 км. Запишите его приближённо с точностью до десятых километра. Для такой записи оставляют одну цифру после запятой; сотые помогают решить, надо ли менять десятые.

1. В числе 12,748 цифра десятых — 7, следующая за ней цифра сотых — 4.
2. Четыре меньше 5, поэтому цифру десятых не меняем.
3. Цифры сотых и тысячных убираем, сохраняя целую часть и десятые.

Ответ: 12,748 км ≈ 12,7 км. Проверка: оставлена одна цифра после запятой, а цифра сотых не потребовала увеличить её.

Типичные ошибки

Первая ошибка — решать, как округлять, по цифре выбранного разряда, а не по цифре справа от неё. Так можно случайно изменить число даже тогда, когда следующая цифра меньше 5. Перед округлением назови разряд, который оставляешь, и отдельно найди следующую за ним цифру.

Иногда при следующей цифре 5 выбранную цифру оставляют без изменения. Так происходит, если правило помнят неточно или считают, что увеличивать нужно только при цифрах больше 5. Проверка простая: 5 входит в группу цифр от 5 до 9, поэтому выбранную цифру нужно увеличить на единицу.

Ещё одна ошибка — просто удалить цифры справа, даже когда следующая цифра требует увеличения. Например, если округлять 347 до десятков, запись 340 неверна: цифра единиц равна 7, значит, десятки нужно увеличить. После удаления цифр проверь, не забыто ли изменение разряда, и сравни цифру справа с 5.

Нельзя записывать округлённый результат через знак равенства, если исходное число изменилось. Например, 347 = 350 неверно, потому что эти числа не равны, а 347 ≈ 350 показывает приближение. Перед ответом проверь, действительно ли число осталось тем же; если нет — ставь знак ≈.

Связь с другими темами

Чтобы округлять, нужно уметь читать и записывать натуральные числа и десятичные дроби. Важно понимать, где находятся разряды единиц, десятков, десятых и сотых: от их расположения зависит выбор цифр для округления. Если пока трудно найти нужный разряд, сначала прочитай число по разрядам.

Округление пригодится в устных вычислениях: оно помогает быстро оценить результат и понять, правдоподобен ли точный ответ. Оно также нужно при записи измерений, когда не требуется указывать лишние цифры. Например, длину или расстояние можно представить с той точностью, которая нужна в задаче.

Что запомнить

• Сначала выбери разряд, до которого округляешь.
• Для решения смотри на цифру следующего разряда.
• Если следующая цифра от 0 до 4, выбранную цифру не меняй.
• Если следующая цифра от 5 до 9, увеличь выбранную цифру на единицу.
• Цифры справа от выбранного разряда при записи округлённого числа не сохраняют.
• Округлённое значение записывают со знаком ≈.