"Математика (в 2 частях)", Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И.
Десятичные дроби используют, когда целое разделено на 10, 100, 1000 и более равных частей. С ними удобно записывать длину, массу, деньги и другие величины. Чтобы сложить или вычесть такие числа, нужно совместить запятые, выровнять разряды и действовать поразрядно. Нули справа после запятой помогают выровнять записи, но не изменяют значение дроби. Ответ полезно проверить прикидкой или обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, 7/10 записывают как 0,7, а 35/100 — как 0,35. Запятая отделяет целую часть числа от его дробной части. Такая запись удобна для вычислений и измерений.
Разряды десятичной дроби — это позиции цифр справа от запятой. Первая цифра обозначает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные доли единицы. Например, в числе 4,286 цифра 2 показывает десятые, 8 — сотые, 6 — тысячные. Знание разрядов помогает складывать и вычитать только одинаковые доли.
Сложение десятичных дробей — это сложение чисел по соответствующим разрядам. Десятые складывают с десятыми, сотые — с сотыми, а целые единицы — с целыми единицами. Например, при сложении 1,2 и 3,45 число 1,2 сначала удобно представить как 1,20. Так разряды становятся заметными и не смешиваются.
Вычитание десятичных дробей — это вычитание по разрядам, при котором иногда приходится занимать единицу из старшего разряда. Одна единица старшего разряда равна десяти единицам соседнего младшего разряда. Поэтому из 1 целой можно получить 10 десятых, а из 1 десятой — 10 сотых. Это правило позволяет вычитать даже тогда, когда цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого.
Десятичные дроби удобно записывать столбиком, потому что в таком виде разряды выстраиваются вертикально. Единицы оказываются под единицами, десятые — под десятыми, сотые — под сотыми. Тогда каждое действие выполняется с одинаковыми долями, как при сложении натуральных чисел. Если расположить цифры без порядка, например десятые под сотыми, общий результат потеряет смысл.
Количество знаков после запятой можно уравнять нулями справа. Например, 2,5 и 2,50 обозначают одно и то же число, потому что 5 десятых равны 50 сотым. Добавленный ноль не создаёт новую величину, а только показывает разряд, в котором долей нет. Благодаря этому числа можно аккуратно поставить в один столбик.
При сложении начинают с младшего разряда, то есть с самых правых цифр. Если сумма цифр становится равной 10 или больше, единицу переносят в следующий разряд. Запятую в ответе ставят точно под запятыми слагаемых, поскольку граница между целой и дробной частью остаётся на том же месте. Так сохраняется правильное значение каждой цифры.
При вычитании также сравнивают и обрабатывают одинаковые разряды справа налево. Если верхняя цифра меньше нижней, занимают одну единицу из соседнего старшего разряда: она превращается в 10 единиц текущего разряда. Если соседний разряд равен нулю, занимают у ближайшего слева ненулевого разряда, а промежуточные нули изменяются на 9. Запятая при этом не сдвигается.
Проверка нужна, чтобы заметить ошибку в записи или вычислении. Прикидка показывает примерный размер ответа: сумма должна быть больше каждого положительного слагаемого, а разность — меньше уменьшаемого. Можно выполнить и обратное действие: к разности прибавить вычитаемое или из суммы вычесть одно слагаемое. Если полученное число не совпало с исходным, вычисление нужно проверить.
| Этап | Сложение | Вычитание |
|---|---|---|
| Записать числа столбиком, совместив запятые | Записать слагаемые так, чтобы одинаковые разряды совпали | Записать уменьшаемое и вычитаемое так, чтобы запятые совпали |
| Уравнять число знаков после запятой нулями при необходимости | Приписать нули справа к слагаемому с меньшим числом знаков | Приписать нули справа к вычитаемому или уменьшаемому |
| Выполнить действие поразрядно, начиная с младшего разряда | Складывать цифры справа налево, выполняя перенос при необходимости | Вычитать справа налево, занимая единицу при необходимости |
| Поставить запятую в результате под запятыми исходных чисел | Сохранить положение границы между целой и дробной частью | Сохранить положение границы между целой и дробной частью |
| Проверить правдоподобие результата | Сравнить сумму с каждым слагаемым и выполнить обратное действие | Сравнить разность с уменьшаемым и выполнить обратное действие |
Таблицу удобно использовать как короткую памятку перед каждым вычислением. Сначала проверьте положение запятых и число знаков после них, затем выполняйте действие справа налево. В конце обязательно оцените, может ли получившийся ответ быть правильным.
У слагаемых разное число знаков после запятой, поэтому сначала нужно сделать записи одинаковой длины. После этого складываем десятые и сотые, не забывая поставить запятую на прежнее место.
Ответ: 5,55.
Сначала представим вычитаемое в виде 3,70. В разряде сотых нужно вычесть 0 из 2, но при переходе к десятым потребуется заимствование: в числе 8,02 цифра в десятых равна нулю. Поэтому единицу придётся взять из разряда единиц.
Ответ: 4,32.
Здесь два действия выполняются последовательно: сначала вычитание, затем сложение. Уравняем все записи до трёх знаков после запятой, чтобы разряды были видны одинаково.
Ответ: 8,026.
Если складывать или вычитать цифры без совмещения запятых, разные разряды окажутся рядом. Так происходит, когда ученик ориентируется на край записи, а не на значение цифр. Проверьте, стоят ли запятые строго в одном вертикальном столбце.
Иногда считают, что ноль справа после запятой увеличивает число. Ошибка появляется из-за привычки воспринимать каждую новую цифру как добавление количества. Сравните дроби по смыслу: 2,5 — это 25 десятых, а 2,50 — 250 сотых, то есть одна и та же величина.
Запятую в ответе нельзя ставить по числу получившихся цифр. Такое правило часто пытаются запомнить вместо понимания разрядов. Проверьте, находится ли запятая результата прямо под запятыми исходных чисел.
При вычитании можно занять единицу не из того разряда или забыть уменьшить цифру, у которой занимали. Особенно легко ошибиться, если между разрядами стоит ноль. После заимствования проследите цепочку изменений слева направо и перепроверьте результат сложением.
Перед изучением темы нужны знания о разрядах натуральных чисел и о записи дробей с помощью запятой. Без этого трудно понять, почему цифры должны располагаться именно так. Умение видеть разряды становится основой для всех действий с десятичными числами.
Десятичные дроби встречаются при измерении длины, массы, времени и стоимости товаров. С их помощью записывают, например, 2,5 м, 1,25 кг или 3,40 рубля. Поэтому аккуратное сложение и вычитание нужно не только на уроках математики.
Этот алгоритм понадобится при умножении и делении десятичных дробей. Он также помогает работать с приближёнными значениями, когда числа округляют и сравнивают. Понимание разрядов делает следующие вычисления понятнее.
Почему запятые в записи столбиком нужно совмещать?
Запятая разделяет целую часть и доли единицы, поэтому одинаковые разряды должны стоять друг под другом. Если запятые не совместить, например, десятые окажутся под сотыми и вычисление будет неверным.
Можно ли приписывать нули справа после запятой?
Да, можно: 2,5 = 2,50 = 2,500. Ноль справа показывает отсутствие соответствующей доли и не меняет значение числа.
Как вычитать десятичные дроби, если после запятой разное число цифр?
Сначала уравняйте число знаков после запятой, приписав нули справа. Например, 3,7 − 1,25 превращается в 3,70 − 1,25, после чего числа вычитают по разрядам.
Откуда занимать единицу, если в разряде уменьшаемого стоит ноль?
Нужно обратиться к ближайшему слева ненулевому разряду. Из него занимают единицу, а нули между ним и нужным разрядом превращаются в 9; затем в нужный разряд переходит 10 единиц.
Как проверить, что ответ получился разумным?
Округлите числа для быстрой прикидки и сравните с результатом. При вычитании можно также прибавить разность к вычитаемому, а при сложении вычесть одно слагаемое из суммы.
32. Сложение и вычитание десятичных дробей
