"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Десятичные дроби умножают и делят, когда нужно вычислять значения величин, записанных не целыми числами: например, находить стоимость нескольких предметов или делить измеренную длину. При умножении сначала считают как с целыми числами, а затем правильно ставят запятую. При делении на десятичную дробь превращают делитель в натуральное число, одновременно изменяя делимое. Проверка обратным действием и прикидка помогают убедиться, что запятая стоит на верном месте.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножить десятичную дробь на натуральное число — значит увеличить её в указанное число раз. Для вычисления умножают числа, временно не учитывая запятую, а потом отделяют справа столько знаков, сколько было после запятой в дроби. Например, в числе 2,35 два десятичных знака, поэтому произведение на натуральное число тоже записывают с двумя знаками после запятой. Это правило позволяет пользоваться знакомым умножением натуральных чисел.
Умножение десятичных дробей — это действие, при котором перемножают два числа с десятичной частью. Сначала множители считают как натуральные числа, а затем ставят запятую так, чтобы число знаков после неё равнялось общему числу десятичных знаков в множителях. Например, у 1,2 один знак, а у 0,34 два, значит, в произведении должно быть три знака. Правило помогает не потерять разряды дробной части.
Деление десятичной дроби на натуральное число — это деление, при котором делитель является целым положительным числом. Деление выполняют по разрядам, а когда в делимом переходят через запятую к дробной части, запятую ставят и в частном. Если цифр делимого не хватает, вычисление можно продолжить, приписывая нули. Так можно получить точное частное или продолжать его до нужного разряда.
Деление на десятичную дробь — это деление, где делитель записан с запятой. Чтобы выполнить его привычным способом, делимое и делитель умножают на одно и то же число 10, 100 или 1000, чтобы делитель стал натуральным. Частное при этом сохраняется, потому что оба числа изменяются одинаково. Этот приём превращает пример в обычное деление на натуральное число.
При умножении десятичной дроби на натуральное число сначала удобно считать так, будто запятой нет. Например, умножая 3,7 на 4, временно получаем 37 · 4 = 148. Но 3,7 в десять раз меньше 37, поэтому и ответ должен быть в десять раз меньше 148. Значит, в произведении отделяем один знак справа: получаем 14,8.
В произведении двух десятичных дробей число знаков после запятой складывается из числа знаков в обоих множителях. Это связано с тем, что каждый знак после запятой означает деление числа на 10: один знак — на 10, два — на 100. Например, если в одном множителе один знак, а в другом два, то произведение цифр нужно уменьшить в 10 · 100 = 1000 раз. Поэтому в произведении отделяют три знака справа.
При делении дроби на натуральное число деление начинают с целой части и продолжают по разрядам. Когда деление доходит до запятой в делимом, её ставят в частном: это показывает, что следующие цифры относятся уже к дробной части. Если делимое закончилось, а остаток остался, можно приписать к нему ноль и продолжить деление. Приписанный ноль не меняет значения делимого, поскольку после запятой можно дописывать нули.
При делении на десятичную дробь нужно сделать делитель целым. Для этого запятую в делителе сдвигают вправо на столько разрядов, сколько в нём знаков после запятой. Чтобы частное не изменилось, запятую в делимом сдвигают вправо на столько же разрядов: это означает умножить оба числа на одну и ту же степень десяти. Например, 8,64 : 0,12 превращается в 864 : 12, потому что оба числа умножили на 100.
После вычисления полезно оценить, каким примерно должен быть ответ. Например, если умножить число около 4 на число около 2, результат должен быть около 8, а не около 80 или 0,8. Умножение проверяют делением, а деление — умножением: если 8,64 : 0,12 = 72, то 72 · 0,12 должно дать 8,64. Такая проверка помогает обнаружить ошибку в вычислении или положении запятой.
| Случай | Как вычислять | Как поставить запятую | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Десятичная дробь × натуральное число | Умножить как целые числа | Оставить столько знаков, сколько было в дроби | Оценить размер ответа или проверить делением |
| Десятичная дробь × десятичная дробь | Перемножить цифры без запятых | Отсчитать сумму знаков после запятой в обоих множителях | Сверить количество знаков и прикинуть результат |
| Десятичная дробь ÷ натуральное число | Делить поразрядно, при необходимости продолжать нулями | Поставить запятую в частном при переходе к дробной части | Умножить частное на делитель |
| Деление на десятичную дробь | Умножить делимое и делитель на одну степень 10, затем делить | В полученном примере делитель уже натуральный | Умножить частное на исходный делитель |
Сначала найди в таблице строку, которая соответствует примеру, и выполни указанный способ вычисления. Затем отдельно проверь, как нужно поставить запятую: при умножении учитывают дробные знаки, а при делении пользуются правилами деления. Последний столбец подсказывает, каким обратным действием или прикидкой проверить результат.
Вычислим 3,7 · 4. Натуральное число 4 показывает, сколько раз нужно взять число 3,7, а умножать десятичные дроби столбиком здесь не требуется. Временно уберём запятую и выполним знакомое умножение, после чего вернём дробную часть. Так проще не смешивать вычисление с расстановкой знаков.
Умножаем числа без запятой: 37 · 4 = 148.
В числе 3,7 после запятой один знак, поэтому в произведении тоже оставляем один знак справа.
Ставим запятую: 14,8. Проверка: 14,8 : 4 = 3,7.
Ответ: 14,8.
Теперь вычислим 2,4 · 0,35. Чтобы понять, где будет запятая, сначала считаем только цифры, как при умножении целых чисел. Затем определяем общее количество дробных знаков в обоих множителях. Здесь один знак есть у 2,4 и два — у 0,35, поэтому в ответе должно получиться три знака после запятой.
Умножаем без запятых: 24 · 35 = 840.
Складываем число знаков: 1 + 2 = 3. Значит, отделяем справа три знака.
Записываем 0,840, или 0,84: конечный ноль после запятой можно убрать, значение числа не меняется.
Ответ: 0,84. Проверка: 0,84 : 0,35 = 2,4. Прикидка тоже подходит: число меньше единицы, умноженное на число меньше единицы, должно дать результат меньше обоих множителей.
Вычислим 8,64 : 0,12. Делить на десятичную дробь неудобно, поэтому превратим делитель в натуральное число. В нём два знака после запятой, значит, нужно сдвинуть запятую вправо на два разряда. Чтобы частное не изменилось, так же поступаем с делимым.
Умножаем делимое и делитель на 100: 8,64 : 0,12 = 864 : 12.
Делим натуральные числа: 864 : 12 = 72, так как 12 · 72 = 864.
Проверяем результат исходным делением: 72 · 0,12 = 8,64.
Ответ: 72. Результат больше 8,64, и это возможно, потому что мы делим на число меньше единицы. Такая прикидка помогает убедиться, что ответ разумен.
При умножении двух десятичных дробей иногда считают знаки после запятой только в одном множителе. Например, в произведении 2,4 · 0,35 тогда легко поставить запятую после одного знака вместо трёх. Обычно ошибку допускают потому, что начинают отсчёт, не рассмотрев оба множителя. Перед записью ответа отдельно сложи число дробных знаков в каждом множителе.
Если цифр в произведении не хватает, чтобы отделить нужное количество десятичных знаков, нельзя просто поставить запятую перед имеющимися цифрами и забыть недостающие разряды. Например, при умножении на дробь с двумя знаками произведение цифр 6 записывают как 0,06, а не как 0,6. Ошибка возникает, когда считают только имеющиеся цифры. Проверь, что справа от запятой ровно нужное количество знаков, при необходимости допиши нули слева.
При делении на десятичную дробь иногда сдвигают запятую только в делителе. Тогда изменяется значение деления, ведь одно число стало в 10, 100 или больше раз крупнее, а другое осталось прежним. Нужно сдвинуть запятую в делимом на то же число разрядов, что и в делителе, то есть умножить оба числа на одну степень десяти. Для проверки сравни исходное действие с преобразованным: частное должно остаться тем же.
При делении десятичной дроби на натуральное число можно поставить запятую в частном не в тот момент или остановить вычисление, хотя остался остаток. Запятая в частном появляется, когда деление переходит от целой части делимого к дробной. Если цифры закончились, а остаток есть, приписывай нули к делимому и продолжай деление. В конце умножь частное на делитель: должно получиться исходное делимое.
Чтобы выполнять действия с десятичными дробями, нужно уверенно умножать и делить натуральные числа, понимать разряды и знать, как меняется число при умножении или делении на 10, 100 и 1000. Эти знания объясняют, почему запятая при умножении и делении перемещается на определённое число разрядов. Если не перепутать разряды, легче понять и сам способ вычисления, и проверку результата.
Умножение и деление десятичных дробей встречается в задачах о длине, массе, времени, стоимости покупок и других величинах. Например, можно найти цену нескольких предметов или разделить измеренную величину на равные части. Эти действия также пригодятся при изучении процентов, где часто приходится работать с числами, записанными десятичными дробями.
Почему при умножении десятичных дробей сначала можно не обращать внимания на запятые?
Запятая показывает, какие разряды у числа дробные, но сами цифры можно перемножить обычным способом. После этого число знаков после запятой восстанавливают по обоим множителям. Так вычисление делится на понятные шаги.
Как определить, сколько знаков после запятой поставить в произведении?
Сложи количество знаков после запятой в обоих множителях. Столько знаков должно быть после запятой в произведении. Например, у 2,4 один знак, а у 0,35 два, поэтому в ответе нужно три знака.
Что делать, если в произведении не хватает цифр для отделения десятичных знаков?
Припиши слева к произведению нужное количество нулей, а затем поставь запятую. Например, 2 · 0,03: произведение цифр равно 6, но нужно два знака после запятой, поэтому ответ — 0,06. Ноль перед запятой показывает, что целых единиц нет.
Почему при делении на десятичную дробь нужно менять и делимое, и делитель?
Частное не меняется, если делимое и делитель умножить на одно и то же число. Поэтому оба числа умножают на 10, 100 или другую нужную степень десяти, чтобы делитель стал натуральным. Если изменить только делитель, значение частного изменится.
Как проверить, правильно ли поставлена запятая в ответе?
При делении умножь частное на делитель: должно получиться делимое. При умножении можно разделить произведение на один из множителей и получить другой. Прикидка тоже помогает: оцени, примерно каким должно быть число, и сравни с ответом.
§ 7. Умножение и деление десятичных дробей
