"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Умножение десятичной дроби на натуральное число помогает быстро находить сумму одинаковых величин: например, массу нескольких упаковок или стоимость нескольких одинаковых покупок. Сначала дробь умножают так, будто запятой нет, а затем ставят запятую в ответе. Справа от неё оставляют столько цифр, сколько было после запятой в дроби. Если цифр не хватает, слева дописывают нули.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, 0,4 означает четыре десятых, а 0,25 — двадцать пять сотых. Запятая отделяет целую часть числа от дробной и помогает увидеть, какого размера доли в нём записаны. Понимание запятой нужно, чтобы правильно поставить её в произведении.
Натуральные числа — это числа, которыми пользуются при счёте: 1, 2, 3, 4 и так далее. В этой теме натуральным числом умножают десятичную дробь: например, в записи 2,4 · 3 число 3 — натуральный множитель. Он показывает, сколько раз нужно взять дробь 2,4. Это помогает понять смысл вычисления ещё до применения правила.
Произведение десятичной дроби на натуральное число — результат умножения, который можно представить как сумму одинаковых слагаемых. Например, 0,5 · 3 = 0,5 + 0,5 + 0,5 = 1,5. Такая запись показывает, что умножение сокращает повторное сложение. Понимая этот смысл, легче проверить, похоже ли полученное число на правильный ответ.
Умножение десятичной дроби на натуральное число можно представить как сложение одинаковых дробей. Например, 1,2 · 3 означает 1,2 + 1,2 + 1,2. При сложении таких чисел можно рассуждать через доли: три раза по 12 десятых — это 36 десятых, то есть 3,6. Поэтому при вычислении можно использовать знакомое умножение целых чисел, а затем правильно записать доли.
Сначала умножают дробь на натуральное число, временно не обращая внимания на запятую. Так, для 2,4 · 3 сначала считают 24 · 3. Это даёт цифры произведения, но пока не показывает, сколько в нём целых единиц и десятых. Запятая здесь не исчезает навсегда: её положение определяют после вычисления, учитывая значение исходной дроби.
В произведении оставляют столько цифр справа от запятой, сколько их было после запятой в десятичной дроби. Если в дроби одна цифра после запятой, то результат записывают с одним десятичным знаком; если две — с двумя. Натуральный множитель не является десятичной дробью, поэтому он не добавляет новых знаков после запятой. Это правило позволяет сохранить тот разряд долей, который был задан исходной дробью.
Почему такой способ верен? Десятичная дробь состоит из определённого количества долей: десятых, сотых или тысячных. Например, 0,16 — это 16 сотых, а пять раз по 16 сотых составляют 80 сотых, то есть 0,80. При умножении число одинаковых долей меняется, но сами доли остаются сотыми. Поэтому и в ответе нужно сохранить два десятичных знака.
Иногда цифр в полученном произведении целых чисел недостаточно, чтобы отделить нужное количество знаков. Тогда слева дописывают нули: например, 12 сотых записываются как 0,12, а не как 0,012. Ноль перед первой значащей цифрой показывает, что целых единиц нет, и помогает поставить запятую на нужное место. Такие нули не меняют значение числа, но необходимы для верной записи.
| Шаг | Что сделать | Пример для записи |
|---|---|---|
| 1 | Умножить числа, не обращая внимания на запятую | 2,4 · 3: сначала 24 · 3 = 72 |
| 2 | Посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби | В числе 2,4 одна цифра после запятой |
| 3 | Поставить запятую в произведении, отделив справа нужное число цифр | Из 72 получаем 7,2 |
| 4 | При необходимости дописать нули слева от произведения | Если нужно три знака, 600 записывают как 0,600 |
Пользуйся таблицей по порядку: сначала вычисли произведение целых чисел, затем посчитай десятичные знаки исходной дроби. После этого поставь запятую, а если цифр мало — допиши нули слева. Перед записью ответа проверь и количество знаков, и величину результата.
Задача 1. Вычислить 2,4 · 3. Дробь 2,4 содержит десятые, поэтому результат должен быть записан с одной цифрой после запятой. Сначала найдём произведение без запятой, а затем вернём десятичный знак на место.
Ответ: 7,2.
Задача 2. Вычислить 0,16 · 5. В дроби 0,16 две цифры после запятой, а ноль в целой части показывает, что целых единиц нет. Поэтому после умножения нужно сохранить два десятичных знака, даже если в результате появится ноль в конце.
Ответ: 0,80, или 0,8.
Задача 3. Одна упаковка весит 0,075 кг. Найдём массу восьми таких упаковок. Умножение подходит, потому что масса каждой упаковки одинакова, а упаковок восемь. В исходной дроби три знака после запятой, значит, в ответе тоже нужно отделить три цифры.
Ответ: масса восьми упаковок — 0,6 кг.
Ошибка: поставить запятую с учётом цифр после запятой в обоих множителях. Натуральное число, например 3 или 8, не имеет десятичных разрядов, поэтому учитывать в нём нечего. Ошибка возникает, когда механически складывают число знаков в множителях. Проверь себя: количество знаков после запятой в ответе должно совпадать с количеством знаков в десятичной дроби.
Ошибка: считать ноль перед первой значащей цифрой ненужным и потерять место запятой. Например, в 0,12 ноль показывает, что целых единиц нет, а число начинается с десятых и сотых. Если его забыть, можно получить запись с другим значением. Проверь, что в ответе верно указана целая часть и сохранено нужное число десятичных знаков.
Ошибка: не дописать нули слева, когда в произведении целых чисел мало цифр. Так бывает, например, при умножении 0,075 на 8: из 600 нужно получить 0,600, а не число с запятой в неверном месте. Причина ошибки — ученик отделяет цифры, но не проверяет, хватает ли их. Пересчитай знаки справа и поставь ноль перед запятой, если целых единиц нет.
Ошибка: оставить лишние нули в целой части или неверно перенести запятую, ориентируясь только на внешний вид записи. Такая запись может выглядеть привычно, но обозначать совсем другое число. Проверь вычисление через смысл: умножение на натуральное число больше единицы увеличивает положительное число. Затем пересчитай десятичные знаки по исходной дроби.
Для умножения десятичной дроби на натуральное число нужно уметь умножать натуральные числа и понимать, что показывают десятичные разряды. Эти знания помогают вычислять, не теряя смысл запятой. Правило пригодится в задачах о стоимости нескольких одинаковых товаров, массе нескольких предметов и других величинах. Позже этот способ станет основой для умножения десятичных дробей друг на друга.
Почему при умножении сначала можно не обращать внимания на запятую?
Так мы сначала выполняем знакомое умножение целых чисел и находим цифры будущего произведения. Запятая нужна, чтобы затем правильно указать, где в ответе заканчиваются целые единицы и начинаются доли.
Сколько цифр нужно оставить после запятой в произведении?
Столько же, сколько цифр стояло после запятой в десятичном множителе. Натуральное число не добавляет десятичных разрядов.
Что делать, если в произведении целых чисел не хватает цифр?
Нужно дописать слева один или несколько нулей, чтобы после запятой оказалось нужное число цифр. Например, 12 сотых записывают как 0,12.
Нужно ли учитывать нули в записи десятичной дроби?
Да, нужно учитывать все цифры после запятой, в том числе нули. Они помогают сохранить место запятой и значение дроби.
Как проверить, правильно ли поставлена запятая?
Посчитай цифры после запятой в исходной дроби и в ответе: их количество должно совпасть. Также оцени величину результата: при умножении положительного числа на натуральное число больше единицы ответ должен быть больше исходного числа.
34. Умножение десятичных дробей на натуральные числа
