35. Деление десятичных дробей на натуральные числа

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это число, записанное с запятой, например 7,35. Цифры справа от запятой показывают доли единицы: десятые, сотые, тысячные. Такое число нужно делить, когда величину распределяют поровну или находят, сколько приходится на одну часть.

Делимое — число, которое делят, а делитель — натуральное число, на которое делят. Частное — результат деления: в записи 8,4 : 4 = 2,1 число 8,4 является делимым, 4 — делителем, а 2,1 — частным. Эти названия помогают правильно читать действие и проверять его.

Разряд — место цифры, определяющее её значение: единицы, десятые, сотые и так далее. При делении разряды должны сохраняться, поэтому запятую в частном ставят в тот момент, когда начинают делить дробную часть. Если цифр не хватает, справа к дроби приписывают нули, не меняя её значения.

Как это устроено

Десятичную дробь можно представить как сумму целой и дробной частей. Поэтому при делении столбиком сначала работают с цифрами слева направо, как при делении натуральных чисел, а затем переходят к десятым, сотым и другим долям. Запятая в частном нужна, чтобы отделить целые единицы от долей и не перепутать разряды.

Например, в числе 15,6 сначала можно разделить 15 единиц на 3 и получить 5 единиц. После этого остаётся разделить 6 десятых на 3, то есть получить 2 десятых. Поэтому 15,6 : 3 = 5,2, а не 52: цифра 2 должна остаться в разряде десятых.

Если целая часть делимого не делится полностью, остаток превращают в более мелкие доли. Для этого после записи запятой в частном к остатку приписывают цифру из дробной части делимого или ноль, а затем продолжают деление. Такой переход возможен потому, что 1 единица равна 10 десятым, а 1 десятая — 10 сотым.

Иногда после использования всех цифр дроби остаётся ненулевой остаток. К числу справа приписывают ноль: например, 2,4 можно записать как 2,40. Значение не меняется, но появляются новые цифры для продолжения деления, поэтому результат можно найти точно или получить нужное число знаков после запятой.

Когда целая часть делимого меньше делителя, в целой части частного записывают 0. Затем ставят запятую и продолжают делить, превращая целые единицы в десятые. Так получается, например, 2,4 : 6 = 0,4: шесть групп по четыре десятых составляют 2,4.

Правила деления десятичной дроби на натуральное число

Сначала определите, какая из трёх ситуаций подходит к примеру. Затем выполняйте деление по разрядам и следите за положением запятой. После вычисления полезно умножить частное на делитель и сравнить результат с делимым.

Разбор задач

Задача. В 4 одинаковых бутылки поровну разлили 7,2 л сока. Сколько литров сока налили в одну бутылку? Нужно разделить общий объём на число бутылок, поэтому выполняем действие 7,2 : 4.

1. Делим целую часть: 7 : 4 = 1, остаток 3. В частном пока получилась 1 целая единица.
2. Переходим к дробной части и ставим запятую после единицы. Остаток 3 единицы превращается в 30 десятых, затем добавляем 2 десятых и получаем 32 десятых.
3. Делим 32 десятых на 4: получаем 8 десятых. Значит, в частном после запятой записываем цифру 8.
4. Получаем 7,2 : 4 = 1,8. Проверяем умножением: 1,8 · 4 = 7,2, поэтому вычисление верно.

Ответ: в одну бутылку налили 1,8 л сока. Важно не записывать результат как 18: цифра 8 обозначает десятые, потому что деление продолжилось после запятой.

Дополнительный пример. Рассмотрим 3,5 : 2. Делим 3 на 2, получаем 1 и остаток 1, ставим запятую, превращаем остаток в 10 десятых и добавляем 5 десятых. 15 десятых : 2 = 7 десятых и остаток 1 десятая, поэтому приписываем ноль: 10 сотых : 2 = 5 сотых. Ответ: 3,5 : 2 = 1,75.

Типичные ошибки

• Не ставят запятую в частном. Тогда десятые записываются как целые единицы, и ответ увеличивается в 10 или 100 раз. Проверьте себя умножением: если 5,2 превратилось в 52, результат сразу выдаст ошибку.
• Ставят запятую слишком рано или поздно. Её ставят при переходе от деления целой части к дробной, а не просто напротив запятой в делимом. Полезно проговаривать разряды: сначала единицы, затем десятые.
• Боятся приписывать нули. Из-за этого останавливаются на остатке и получают неполный ответ. Помните, что 4,7 и 4,70 равны, а после приписанного нуля деление можно продолжить.
• Забывают ноль перед запятой. В ответе 0,4 ноль показывает отсутствие целых единиц. Сравните результат с делимым: частное от деления 2,4 на 6 должно быть меньше единицы.

Связь с другими темами

Деление десятичных дробей связано с делением натуральных чисел: порядок действий и работа с остатком остаются теми же. Оно опирается на разряды десятичных дробей и отношения 1 единица = 10 десятых, 1 десятая = 10 сотых. Проверка через умножение связывает деление с обратным действием и помогает обнаружить ошибку в запятой.

Что запомнить

• Десятичную дробь на натуральное число делят столбиком слева направо.
• При переходе к дробной части в частном ставят запятую.
• Нули справа после запятой можно приписывать без изменения значения числа.
• Если целая часть меньше делителя, частное начинается с 0,.
• Правильность деления проверяют умножением частного на делитель.