"Математика (в 2 частях)", Виленкин А.Н., Жохов В.И., Чесноков А.С. и др.
Умножение десятичных дробей помогает находить площади и решать задачи с величинами. Чтобы выполнить его, сначала перемножают числа, временно не обращая внимания на запятые. Затем в произведении отделяют запятой справа столько знаков, сколько их было после запятой в обоих множителях вместе. Если цифр не хватает, слева дописывают нули. Это правило основано на том, что десятичные дроби можно записать в виде обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100 и так далее.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Её записывают без знаменателя, отделяя запятой дробную часть: например, 3/10 = 0,3, а 27/100 = 0,27. Цифры слева от запятой показывают целую часть, а справа — доли единицы. Такая запись помогает коротко записывать числа и выполнять с ними действия.
Умножение десятичных дробей — действие, при котором сначала перемножают числа без запятых, а затем определяют положение запятой в ответе. Например, в записи 1,2 · 0,3 для первого действия можно взять числа 12 и 3. Запятую возвращают по правилу, учитывая, сколько знаков было после неё в исходных числах. Так вычисление становится похожим на привычное умножение натуральных чисел.
Произведение десятичных дробей — результат их умножения. Например, в равенстве 0,2 · 0,5 = 0,1 число 0,1 является произведением. Его записывают с целой частью слева от запятой, а дробной — справа; если целых единиц нет, перед запятой пишут ноль. Понимание частей записи помогает правильно прочитать ответ и не потерять значение разрядов.
Запятые можно временно отбросить, потому что десятичные дроби можно представить обыкновенными дробями со знаменателями, равными степеням десяти. Например, 2,4 = 24/10, а 1,3 = 13/10. Их произведение равно 24 · 13, делённому на 10 · 10, то есть на 100. Поэтому сначала умножают 24 на 13, а затем учитывают две сотые части в знаменателе.
Когда в множителе временно убирают запятую, число увеличивается в 10, 100 или другое число раз — столько, сколько зависело от числа удалённых знаков. Например, 2,4 становится 24, то есть увеличивается в 10 раз. Если так поступить с обоими множителями, их произведение тоже увеличится: здесь в 10 · 10 = 100 раз. Чтобы получить исходный ответ, надо учесть это увеличение и разделить целое произведение на 100.
Деление на 10, 100, 1000 в десятичной записи означает, что запятая сдвигается влево на один, два, три знака. Поэтому количество знаков после запятой в произведении равно общему количеству знаков в обоих множителях. Например, в 2,4 · 1,3 их два: один в первом числе и один во втором. Это правило не случайное: оно учитывает, во сколько раз увеличили множители, отбросив запятые.
Иногда полученное произведение короче, чем требуемое количество знаков после запятой. Тогда слева от его цифр дописывают нули, пока цифр не станет достаточно, и только после этого ставят запятую. Например, в произведении 6 · 4 = 24 нужно оставить три знака справа, если исходные множители были 0,06 и 0,4. Запись 0,024 показывает, что результат меньше единицы и равен двадцати четырём тысячным.
При умножении десятичной дроби на натуральное число действует то же правило: у натурального числа нет знаков после запятой, поэтому считают только знаки в десятичной дроби. Например, 1,25 · 4: сначала 125 · 4 = 500, затем оставляют два знака справа и получают 5,00, то есть 5. Умножение на 10, 100 или 1000 — особый удобный случай: число увеличивается, а запятая перемещается вправо на столько мест, сколько нулей у множителя. Если цифр не хватает, справа дописывают нули.
Сравнивай свой пример с подходящей строкой таблицы: сначала найди, какие числа перемножаются, затем проверь запятую и результат. В последнем столбце указаны места, где особенно легко ошибиться. После вычисления оцени, правдоподобен ли ответ по величине.
| Случай | Как выполнить | Что проверить |
|---|---|---|
| Десятичная дробь на десятичную дробь | Умножить числа без запятых; отделить справа суммарное число знаков из обоих множителей. | Сложить число знаков после запятой в обоих множителях. |
| Десятичная дробь на натуральное число | Умножить как натуральные числа; оставить в ответе столько знаков, сколько было в дроби. | Не считать у натурального числа отсутствующие знаки после запятой. |
| Умножение на 10, 100 или 1000 | Переместить запятую вправо на один, два или три знака. | Число должно увеличиться; при нехватке цифр справа дописать нули. |
| В произведении не хватает цифр для дробной части | Добавить слева нули, чтобы хватило места для нужного числа знаков. | Сначала определить нужное количество знаков, потом ставить запятую. |
В обоих множителях есть по одной цифре после запятой, значит, в ответе нужно оставить две цифры справа. Для умножения пока забудем о запятых и выполним знакомое действие с натуральными числами. После этого поставим запятую и проверим, что ответ близок к ожидаемому: примерно 2,5 · 1,5, то есть немного больше 3.
Ответ: 3,12. Он немного больше 3, что согласуется с оценкой произведения чисел, близких к 2,5 и 1,5. Не следует ставить запятую после первой цифры: это не учло бы оба множителя.
Множители меньше единицы, поэтому их произведение должно быть небольшим. Без запятых перемножаем 6 и 4, получаем 24. В исходных множителях вместе три знака после запятой: два в числе 0,06 и один в числе 0,4, а в 24 пока только две цифры.
Ответ: 0,024. Ноль слева нужен, чтобы правильно отделить тысячные доли, но он не меняет значение числа. Ответ меньше обоих множителей, что ожидаемо при умножении чисел, меньших единицы.
Площадь прямоугольника находят, умножая длину на ширину. Поэтому перемножаем 3,25 м и 1,2 м, а в конце указываем квадратные метры: метр умножается на метр. Прикидка тоже помогает: 3,25 · 1,2 должно быть немного больше 3,25, потому что 1,2 больше единицы.
Ответ: площадь площадки равна 3,9 м². Нули в конце десятичной дроби можно убрать, поэтому 3,900 и 3,9 обозначают одно и то же число. Единица ответа именно квадратный метр, потому что перемножали две длины, измеренные в метрах.
Первая ошибка — отделить в произведении столько цифр, сколько было только в одном множителе. Так поступают, если забывают, что оба множителя влияют на знаменатель результата. Проверка простая: отдельно посчитай знаки после запятой в каждом числе и сложи их. Например, для 2,4 · 1,3 нужно оставить два знака, а не один.
Вторая ошибка — не дописать нули слева, когда цифр недостаточно. Из-за этого запятая оказывается не там, и число становится в десять или сто раз больше нужного. Сначала посчитай, сколько знаков надо оставить, и сравни это количество с цифрами произведения. Например, для трёх знаков число 24 нужно записать как 0,024.
Третья ошибка — ставить запятую во время умножения цифр. Тогда легко сбиться в столбике и учесть запятые дважды или неверно. Надёжнее сначала вычислить произведение целых чисел, а затем определить место запятой по общему числу знаков в множителях. Проверь, что цифры перемножены так же, как при обычном умножении натуральных чисел.
Четвёртая ошибка — считать, что при умножении на 10 или 100 запятая движется влево. Это направление относится к делению, а умножение увеличивает значение числа. При умножении на 10 запятая сдвигается вправо на одно место, на 100 — на два. Проверка: ответ должен быть соответственно в 10 или 100 раз больше исходного числа.
Для умножения десятичных дробей нужно уметь умножать натуральные числа и понимать разрядный состав десятичной дроби: знать, что показывают цифры слева и справа от запятой. Это помогает правильно вычислить произведение и определить, где поставить запятую. Новое умение применяется при нахождении площадей и объёмов, а также в задачах с величинами. Оно пригодится и при изучении деления десятичных дробей, где важно учитывать разрядность чисел.
Почему при умножении сначала можно не обращать внимания на запятые?
Каждую десятичную дробь можно представить как целое число, разделённое на 10, 100 или другую степень десяти. Поэтому сначала удобно умножить числа без запятых, а затем учесть, во сколько раз при этом изменились множители. Число знаков после запятой в ответе как раз учитывает эти изменения.
Как определить, сколько знаков оставить после запятой в произведении?
Посчитай знаки после запятой в каждом множителе и сложи их количество. Столько цифр нужно отделить справа в произведении. Например, в умножении 2,4 · 1,3 всего два знака после запятых, поэтому в ответе оставляют две цифры после запятой.
Что делать, если в произведении цифр меньше, чем нужно для дробной части?
Перед цифрами произведения допиши слева столько нулей, сколько нужно для отделения дробной части. Например, 6 · 4 = 24, а в выражении 0,06 · 0,4 всего три знака после запятой. Записываем 0,024, а не 0,24.
Как умножить десятичную дробь на натуральное число?
Сначала умножь десятичную дробь на натуральное число так, будто запятой нет. Затем в полученном числе отдели справа столько знаков, сколько было после запятой в десятичной дроби. Например, 1,25 · 4 = 5,00, то есть 5.
Почему при умножении десятичной дроби на 10 запятая перемещается вправо?
При умножении на 10 значение числа становится в десять раз больше, поэтому каждая цифра переходит в следующий разряд. Из-за этого запятая в записи перемещается на один знак вправо. При умножении на 100 она перемещается на два знака вправо.
36. Умножение десятичных дробей
