37. Деление на десятичную дробь 

Определения и обозначения

Деление на десятичную дробь — действие, при котором частное находят, сначала превращая делитель в натуральное число. Натуральное число — это целое положительное число, например 6 или 12. Такой приём нужен, чтобы вместо деления на число с запятой выполнить привычное деление.

Делимое — число, которое делят. При преобразовании его умножают на ту же степень 10, что и делитель, то есть на 10, 100, 1000 и так далее. Это необходимо, чтобы частное сохранилось и вычисление осталось равносильным исходному.

Делитель — число, на которое делят. Если он записан десятичной дробью, его умножают на 10, 100, 1000 или другую степень 10, чтобы получить целое число. Сколько нулей в выбранной степени, столько разрядов запятая перемещается вправо.

Частное — результат деления. Оно показывает, во сколько раз делимое больше делителя, и не меняется, если оба числа умножить на одно и то же ненулевое число. Это свойство объясняет, почему можно преобразовать деление и получить более удобный пример.

Как это устроено

Частное показывает отношение двух чисел: например, сколько одинаковых частей делителя помещается в делимом. Если увеличить и делимое, и делитель одинаково, число таких частей не изменится. Поэтому равенство a : b = (a · n) : (b · n) верно при n ≠ 0. Это свойство позволяет заменить неудобное деление на удобное.

Чтобы сделать десятичный делитель целым, его умножают на 10, 100, 1000 и так далее. При умножении на 10 запятая сдвигается вправо на один разряд, на 100 — на два, на 1000 — на три. Например, 0,12 после умножения на 100 превращается в 12. Выбирают наименьшую степень 10, после которой в делителе не останется цифр после запятой.

Запятую в делимом перемещают на столько же разрядов, что и в делителе, потому что оба числа умножают на одну и ту же степень 10. Если сдвинуть её иначе, числа будут умножены на разные величины, а частное изменится. Например, при делителе 0,4 умножение на 10 превращает его в 4, поэтому делимое тоже нужно умножить на 10. Так сохраняется исходное отношение чисел.

Когда делитель стал натуральным числом, выполняют деление на него. Если делимое — десятичная дробь, при делении учитывают её запятую: после окончания деления целой части продолжают делить дробную часть и записывают запятую в частном. Например, 3,6 : 12 = 0,3. Если делимое делится без остатка, вычисление можно закончить, когда остаток равен нулю.

Иногда в делимом меньше цифр после запятой, чем требуется для преобразования. Тогда справа дописывают нули: запись 2,5 можно продолжить как 2,50 или 2,500, потому что такие записи обозначают одно и то же число. Это позволяет сдвинуть запятую на нужное количество разрядов. Нули добавляют именно к делимому, чтобы умножить его на ту же степень 10, что и делитель.

Как преобразовать деление на десятичную дробь

Сначала найди, сколько разрядов нужно перенести запятую в делителе, чтобы он стал целым. Затем проверь, что запятая в делимом перенесена на столько же разрядов. Если цифр не хватает, допиши нули справа и только после этого вычисляй.

Разбор задач

Вычислите 4,8 : 0,6. Делитель 0,6 — десятичная дробь с одной цифрой после запятой, поэтому умножим оба числа на 10. Получим деление на натуральное число, а значение частного при таком преобразовании не меняется.

1. В делителе 0,6 переносим запятую вправо на один разряд: получаем 6.
2. На один разряд переносим запятую и в делимом: 4,8 становится 48.
3. Выполняем обычное деление: 48 : 6 = 8.

Ответ: 8. Проверка: 8 · 0,6 = 4,8, значит, частное подходит к исходному примеру.

Вычислите 7,56 : 0,12. В делителе 0,12 две цифры после запятой, поэтому запятую нужно перенести на два разряда. Иначе делитель не станет натуральным числом. Умножение обоих чисел на 100 сохранит частное.

1. Умножаем делитель 0,12 на 100: получаем 12.
2. Умножаем делимое 7,56 на 100: получаем 756.
3. Делим 756 на 12: 756 : 12 = 63.

Ответ: 63. Проверка: 63 · 0,12 = 7,56. В исходном примере частное то же самое, что и после преобразования 756 : 12.

Вычислите 0,036 : 0,12. Здесь делитель, как и в предыдущем примере, имеет две цифры после запятой. Умножим оба числа на 100, но получившееся делимое останется десятичной дробью. Поэтому после преобразования нужно делить десятичную дробь на натуральное число.

1. Переносим запятую в делителе на два разряда вправо: 0,12 становится 12.
2. Переносим запятую в делимом на те же два разряда: 0,036 становится 3,6.
3. Выполняем деление 3,6 : 12. Так как 36 : 12 = 3, то 3,6 : 12 = 0,3.

Ответ: 0,3. Проверка: 0,3 · 0,12 = 0,036. Запятая в ответе нужна, потому что результат меньше единицы.

Типичные ошибки

Переносят запятую только в делителе, например превращают 0,6 в 6, а делимое оставляют прежним. Тогда изменяется только одно число, поэтому частное становится другим. Проверь себя: запятые должны сдвигаться одновременно, а числа — умножаться на одинаковую степень 10.

Переносят запятую в делимом и делителе на разное количество разрядов. Так происходит, если в каждом числе считают цифры отдельно и забывают связать их преобразование. Сверь число сдвигов: например, если делитель умножен на 100, делимое тоже должно быть умножено на 100.

Забывают дописать нули в делимом, когда после запятой не хватает цифр. Например, пытаются сдвинуть запятую в 2,5 на два разряда, не записав 2,50. Нули справа не меняют значение числа, но помогают правильно выполнить сдвиг; проверь, что нужное количество разрядов получилось.

После преобразования продолжают считать делитель десятичной дробью и путаются при вычислениях. Такая ошибка возникает, если сразу не записать новый пример целиком. Сначала замени исходное деление, например, на 48 : 6, затем убедись, что делитель натуральный, и только после этого дели.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь умножать и делить десятичные дроби на 10, 100 и 1000, а также делить на натуральное число. Правило основано на свойстве частного: умножение делимого и делителя на одно и то же ненулевое число не меняет результат. Умение пригодится в задачах о цене, массе, длине и других величинах, а также при дальнейшем изучении действий с десятичными дробями.

Что запомнить

• Чтобы разделить на десятичную дробь, преврати делитель в натуральное число.
• Переноси запятую в делителе вправо до получения целого числа.
• В делимом переноси запятую на столько же разрядов.
• Если цифр для переноса не хватает, допиши справа нули.
• После преобразования выполни деление на натуральное число.
• Умножение делимого и делителя на одно и то же число не меняет частное.