§ 10. Округление десятичных дробей

Определения и обозначения

Округление десятичной дроби — замена числа приближённым значением с меньшим количеством цифр после запятой. Например, число 6,372 можно записать короче, округлив его до сотых. Такая запись удобна, когда точность до тысячных не нужна, например при записи результата измерения. При этом округлённое число обычно не совпадает с исходным точно.

Разряд округления — разряд, до которого сохраняют цифры при округлении. Например, если нужно округлить 5,638 до десятых, разрядом округления будут десятые, а сохраняемая цифра — 6. Определить этот разряд нужно до того, как выбирать действие с цифрами. Иначе легко посмотреть не на ту цифру.

Цифра разряда округления — цифра, которую оставляют без изменения или увеличивают на единицу в зависимости от следующей цифры. При округлении 5,638 до десятых такой цифрой будет 6. Она задаёт последнюю сохраняемую позицию в результате. Чтобы верно её изменить или оставить, сравнивают с 5 цифру, стоящую сразу справа.

Приближённое значение — результат округления, который записывают с помощью знака ≈. Например, 5,638 ≈ 5,64 при округлении до сотых. Знак показывает, что справа записано близкое, но обычно не точное значение исходного числа. Он помогает отличать округление от равенства.

Как это устроено

Сначала нужно определить, до какого разряда округляют число: до целых, десятых, сотых или другого разряда. Затем в записи находят цифру именно на этой позиции и сохраняют её, если правило не требует увеличить её. Например, при округлении 8,347 до сотых сохраняют цифры 8,34, потому что сотые — это вторая цифра после запятой. Выбор разряда задаёт, сколько цифр останется в результате.

Для выбора действия достаточно посмотреть на одну цифру сразу справа от разряда округления. Эта цифра указывает, насколько отброшенная часть влияет на сохранённое число: она либо меньше половины единицы данного разряда, либо не меньше половины. Все более дальние цифры уже не меняют решения. Поэтому, округляя до десятых, смотрят на сотые, а не на последнюю цифру всей записи.

Если следующая цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, сохраняемая цифра остаётся прежней. Причина в том, что отброшенная часть меньше половины единицы разряда округления, поэтому приближённое значение ближе к числу, которое получается без увеличения. Если следующая цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, сохраняемую цифру увеличивают на единицу: отброшенная часть составляет не меньше половины единицы разряда. Так выбирают ближайшее значение с нужным количеством цифр.

После решения цифры правее разряда округления отбрасывают: их место в приближённой записи уже не нужно. Если округление требует увеличить 9, получается 10, поэтому на этом месте записывают 0, а единицу переносят в разряд слева. Например, при округлении до сотых числа 3,996 сначала нужно увеличить сотые: 9 превращается в 10. Перенос проходит через ещё одну девятку и даёт результат 4,00.

Исходное число — точное значение, если оно дано без указания на приближение, а округлённая запись обычно является только приближённым значением. Поэтому между ними ставят знак ≈, а не знак равенства: например, 12,5 ≈ 13, но 12,5 не равно 13. Знак равенства утверждал бы, что значения совпадают полностью. Знак приближённого равенства показывает, что результат округления близок к исходному с выбранной точностью.

Правила округления десятичных дробей

Сначала найдите нужную строку по цифре справа от разряда округления или по особой ситуации с переносом. Затем выполните действие с сохраняемой цифрой и отбросьте цифры правее неё. В примерах указано, до какого разряда выполнено округление.

Разбор задач

Округлить число 8,347 до десятых

Нужно получить запись с одной цифрой после запятой. Сохраняемая цифра стоит в разряде десятых, а решение зависит от следующей цифры — разряда сотых. После округления проверим, что в ответе осталась только одна цифра после запятой.

1. Найдём цифру десятых: в числе 8,347 это 3.
2. Посмотрим на следующую цифру — цифру сотых. Это 4, поэтому цифру десятых не меняем.
3. Цифры справа от десятых отбрасываем и записываем результат со знаком приближённого равенства.

Ответ: 8,347 ≈ 8,3.

Округлить числа 15,064 и 2,995 до сотых

В обоих числах нужно сохранить две цифры после запятой. Для первого числа проверим тысячные: это цифра 4, поэтому сотые останутся без изменения. Во втором числе тысячные равны 5, значит сотые нужно увеличить; так как там стоит 9, потребуется перенос в разряд слева.

1. В числе 15,064 цифра сотых — 6, а следующая цифра, тысячных, — 4. Оставляем 6 и отбрасываем 4: 15,064 ≈ 15,06.
2. В числе 2,995 сотые равны 9, тысячные — 5. Увеличиваем сотые на единицу: 9 + 1 = 10, записываем 0 в сотых и переносим 1 в десятые.
3. В разряде десятых тоже была 9, поэтому переносим единицу дальше: число перед запятой увеличивается с 2 до 3. После переноса результат равен 3,00.

Ответ: 15,064 ≈ 15,06; 2,995 ≈ 3,00.

Длина маршрута составляет 27,586 км. Записать её приближённо с точностью до целого километра и до десятых километра; определить, какая запись точнее

Сначала округлим длину до целого километра, затем — до десятых. Для целых решает первая цифра после запятой, а для десятых — следующая за десятыми цифра. Сравнивая записи, учтём, сколько разрядов в них сохранено.

1. При округлении до целых смотрим на десятые: это 5. Значит, целая часть 27 увеличивается на единицу, а десятичная часть отбрасывается: 27,586 ≈ 28 км.
2. При округлении до десятых сохраняем 5 и проверяем цифру сотых — 8. Она больше 4, поэтому десятые увеличиваем на единицу: 27,586 ≈ 27,6 км.
3. В записи 27,6 сохранён разряд десятых, а в записи 28 — только целые километры. Поэтому значение 27,6 км точнее и ближе к исходной длине.

Ответ: до целых — 28 км, до десятых — 27,6 км; запись 27,6 км точнее.

Типичные ошибки

Можно посмотреть на последнюю цифру числа вместо цифры сразу справа от разряда округления. Так происходит, если сначала не найти нужную позицию: например, для округления до десятых проверяют не тысячные, а сотые. Перед действием отметьте сохраняемую цифру и проверьте именно следующую за ней.

Другая ошибка — увеличить цифру разряда округления, когда следующая цифра равна 4 или меньше. Обычно правило запоминают механически и забывают разделить цифры на две группы: 0–4 и 5–9. Проверка простая: сравните следующую цифру с 5 и не увеличивайте сохраняемую, если она меньше 5.

Если оставить все цифры после разряда округления, число не округлено до требуемой точности. Например, запись 7,268 при округлении до десятых всё ещё содержит лишние цифры после десятых. После применения правила отбросьте всё, что находится справа от нужного разряда, и посчитайте цифры после запятой.

Нельзя ставить знак равенства между исходным числом и результатом округления, будто значения точно совпадают. Такую запись могут сделать, если считать округление обычным вычислением без изменения числа. Проверьте смысл результата: если число лишь приближённое, используйте знак ≈, например 12,5 ≈ 13.

Связь с другими темами

Для округления нужно уметь читать десятичные дроби и находить разряды единиц, десятых и сотых. Также нужно сравнивать цифры с числом 5: это помогает выбрать, изменится ли цифра округления. Округление встречается при приближённых измерениях длины, массы, времени и стоимости, когда результат удобно записать без лишних знаков. Оно пригодится и при оценке вычислений, работе с процентами и отношениями, а также в других приближённых расчётах.

Что запомнить

• Сначала определяют разряд, до которого нужно округлить число.
• Затем смотрят на цифру, стоящую сразу справа от этого разряда.
• При цифре 0–4 цифру разряда округления не изменяют.
• При цифре 5–9 цифру разряда округления увеличивают на единицу.
• Все цифры правее разряда округления отбрасывают.
• Результат округления записывают со знаком ≈.
• Если при увеличении получается 10, выполняют перенос в следующий разряд.