§ 2. Прямоугольный параллелепипед и его объём

Определения и обозначения

Прямоугольный параллелепипед — тело, ограниченное шестью прямоугольными гранями. Он похож на коробку или кирпич, только его размеры могут быть разными. Измерения такого тела нужны, чтобы описывать его форму и вычислять объём.

Грань — прямоугольник, ограничивающий прямоугольный параллелепипед. Две грани называют противоположными, если они не имеют общего ребра и находятся напротив друг друга. Противоположные грани равны и параллельны, поэтому по одной из них можно представить размер другой.

Ребро — сторона грани, общая для двух соседних граней. Рёбра соединяют вершины и показывают длину, ширину или высоту тела. Измерив три ребра, выходящие из одной вершины в разных направлениях, можно узнать все размеры параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда — величина, показывающая, сколько единичных кубов в нём помещается. Единичный куб имеет ребро длиной в одну выбранную единицу. Объём обозначают буквой V и находят по размерам тела.

Как это устроено

На модели легко увидеть переднюю, заднюю, верхнюю, нижнюю и боковые грани. Задняя грань или нижние рёбра иногда скрыты, но они всё равно входят в подсчёт. Поэтому у прямоугольного параллелепипеда всегда шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин.

Три измерения — длина, ширина и высота — задают размер тела в трёх направлениях. В каждом направлении есть четыре параллельных и равных ребра, потому что противоположные грани равны. Так образуются три группы рёбер: четыре длины, четыре ширины и четыре высоты.

Противоположные грани равны и параллельны: например, верхняя и нижняя имеют одинаковую форму и размер. Соседние грани имеют общее ребро и пересекаются под прямым углом, как стены и пол комнаты. На развёртке это видно по прямоугольникам, соединённым общими сторонами, а на модели — по прямым углам между гранями.

Представим, что тело заполняют кубиками с ребром 1 см. В одном ряду помещается столько кубиков, сколько показывает длина, в одном слое — произведение длины и ширины, а слоёв получается столько, какова высота. Поэтому объём вычисляют по формуле V = a · b · c.

При умножении трёх длин единицы тоже перемножаются: см · см · см = см³. Значит, размеры 5 см, 3 см и 2 см дают объём в кубических сантиметрах, а не в сантиметрах или квадратных сантиметрах. Кубическая единица описывает место внутри тела, тогда как квадратная единица описывает поверхность.

Элементы и объём прямоугольного параллелепипеда

В первом столбце указано, какой элемент или величину мы рассматриваем. Второй столбец помогает быстро вспомнить количество или обозначение, а третий подсказывает способ определения. При решении задачи сначала находят нужные измерения, затем выбирают формулу и единицу ответа.

Если все три измерения даны в одной единице, переводить их перед вычислением не нужно. Если единицы разные, их сначала приводят к одной единице длины. После умножения ответ записывают в кубической единице этой длины.

Разбор задач

Задача 1. Нужно найти объём параллелепипеда с длиной 5 см, шириной 3 см и высотой 2 см. Все измерения уже даны в сантиметрах, поэтому результат сразу получится в см³.

1. Записываем формулу: V = a · b · c.
2. Подставляем значения: V = 5 · 3 · 2.
3. Сначала находим число кубиков в одном слое: 5 · 3 = 15, затем учитываем два слоя: 15 · 2 = 30.

Ответ: 30 см³. Такой результат означает, что внутри тела помещается 30 кубиков с ребром 1 см.

Задача 2. Объём коробки равен 120 см³, длина — 10 см, ширина — 4 см. Неизвестна высота. Из формулы V = a · b · c нужно выразить c, разделив объём на произведение длины и ширины.

1. Находим площадь основания: a · b = 10 · 4 = 40 см².
2. Делим объём на площадь основания: c = 120 : 40 = 3 см.
3. Проверяем: 10 · 4 · 3 = 120 см³, значит вычисление верно.

Ответ: высота коробки равна 3 см. Деление здесь подходит потому, что объём состоит из одинаковых слоёв площадью 40 см².

Задача 3. Размеры аквариума — 60 см, 30 см и 40 см. Сначала найдём его объём в кубических сантиметрах, а затем переведём результат в литры по условию 1 л = 1000 см³.

1. Вычисляем объём: V = 60 · 30 · 40 = 72 000 см³.
2. Переводим в литры: 72 000 : 1000 = 72 л.
3. Проверяем единицы: деление на 1000 заменяет кубические сантиметры литрами.

Ответ: аквариум вмещает 72 л воды. Это значение относится к заполнению доверху, без учёта толщины стенок и свободного места.

Типичные ошибки

Ошибка: считать только видимые грани или рёбра. Скрытые элементы не исчезают, просто их не видно на плоском рисунке. Проверьте себя по общей схеме: граней должно быть 6, рёбер — 12, вершин — 8.

Ошибка: подставлять в формулу любые три выбранных ребра, не определив их направления. Ребро может быть частью нужной группы, но важно получить длину, ширину и высоту. Проверьте, что три взятых ребра выходят из одной вершины и идут в разных направлениях.

Ошибка: записывать объём в сантиметрах или квадратных сантиметрах. При умножении трёх длин получается кубическая единица: см · см · см = см³. Для самопроверки посчитайте, сколько раз единица длины перемножается в формуле.

Ошибка: находить неизвестное измерение сложением или вычитанием данных. Объём равен произведению трёх измерений, поэтому неизвестное измерение получают делением на произведение двух известных. После вычисления выполните обратную проверку умножением.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны умения измерять отрезки, узнавать прямоугольник и находить площадь прямоугольника. Площадь основания помогает понять, почему объём равен числу одинаковых слоёв, умноженному на их площадь.

Формула объёма встречается в задачах о коробках, комнатах, бассейнах и других ёмкостях. Она позволяет выяснить не только объём, но и неизвестную длину, ширину или высоту.

Позже эти знания пригодятся при изучении объёмов других геометрических тел и переводов единиц. Навык работы с кубическими единицами поможет отличать длину, площадь и объём.

Что запомнить

• У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• У него три измерения: длина, ширина и высота.
• Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.
• Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх измерений: V = a · b · c.
• Объём записывают в кубических единицах.
• Чтобы найти неизвестное измерение, объём делят на произведение двух известных измерений.